Question

設x₁，x₂，x₃，…，x₂₀₀₆是整數，且滿足下列條件：
①1≤x_n≤2，n=1，2，3，…，2006；
②x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₀₆=200；
③x₁²+x₂²+x₃²+…+x₂₀₀₆²=2006．
求x₁³+x₂³+x₃³+…+x₂₀₀₆³的最小值和最大值．

Answer 1

【答案】分析：先設x₁，x₂，x₃，x₂₀₀₆中有-1有a個，0有b個，1有c個，2有d個，分別分析條件可得四元一次方程組：
a+b+c+d=2006（1）
-a+c+2d=200（2）
a+c+4d=2006（3）
可轉化為求-a+c+8d的最大值、最小值，再消元可得-a+c+8d=200+6d，進而分析d的取值范圍，求出最大值和最小值即可．
解答：解：x₁，x₂，…，x₂₀₀₆的取值范圍就是-1，0，1，2四個，可以設值為-1有a個，0有b個，1有c個，2有d個．
所以原條件轉化成了四元一次方程組：
a+b+c+d=2006（1）
-a+c+2d=200（2）
a+c+4d=2006（3）
求-a+c+8d的最大值、最小值，
由（1），（2），（3）可知：
b=3d，c=1103-3d，a=903-d，
用d表示-a+c+8d，903-d≥0得知：d＜903，
1103-3d≥0得知：d≤367，
而d≥0，
d最小可以取到0，因此得到的最小值是200，
d最大可以取到367，因此得到的最大值是2402，
故答案為：200，2402．
點評：本題考查的是整數問題的綜合運用，注意分情況進行討論．