Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，P為AB上一點，且點P不與點A重合，過點P作PE⊥AB交AC邊于E點，點E不與點C重合，若AB=10，AC=8，設AP的長為x，四邊形PECB的周長為y，
（1）試證明：△AEP∽△ABC；
（2）求y與x之間的函數(shù)關系式．

Answer 1

分析：（1）可證明△APE和△ACB都是直角三角形，還有一個公共角，從而得出：△AEP∽△ABC；
（2）由勾股定理得出BC，再由相似，求出PE=

3

4

x，AE=

5

4

x，即可得出y與x的函數(shù)關系式．

解答：證明：（1）∵PE⊥AB，
∴∠APE=90°，
又∵∠C=90°，
∴∠APE=∠C，
又∵∠A=∠A，
∴△AEP∽△ABC；

解：（2）在Rt△ABC中，AB=10，AC=8，
∴BC=

AB2-AC2

=

102-82

=6，
由（1）可知，△APE∽△ACB
∴

AE

AB

=

AP

AC

=

PE

BC

，
又∵AP=x，
即

AE

10

=

x

8

=

PE

6

，
∴PE=

3

4

x，AE=

5

4

x，
∴y=10-x+

3

4

x+8-

5

4

x+6=24-

3

2

x．（0＜x＜4.8）

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質、一次函數(shù)的圖象以及列函數(shù)解析式，是中檔題，難度不大．