Question

【題目】如圖1，矩形ABCD，AB＝4，BC＝．

（1）直接寫(xiě)出：∠ABD＝______度；

（2）將矩形ABCD沿BD剪開(kāi)得到兩個(gè)三角形，按圖2擺放：點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，CD落在AD′上，直接寫(xiě)出BD與B′D′的關(guān)系：_____；

（3）在圖2的基礎(chǔ)上將△AB′D′向左平移，點(diǎn)B′與B重合停止，設(shè)AC＝x，兩個(gè)三角形重合部分的封閉圖形的周長(zhǎng)為y，請(qǐng)用x表示y：____．

Answer 1

【答案】60 BD=B′D′，BD⊥B′D′

【解析】

（1）解直角三角形即可解決問(wèn)題．

（2）結(jié)論：BD⊥B′D′，BD=B′D′．利用“8字型”證明∠DHD′=∠BAD=90°即可．

（3）分四種情形①如圖3-1中，當(dāng)0＜x≤時(shí)，重疊部分是四邊形ACDH．②如圖3-2中，當(dāng)＜x≤4時(shí)，重疊部分是五邊形ACMNH．③如圖3-2中，當(dāng)＜x≤時(shí)，重疊部分是五邊形ACMNH．如圖3-4中，當(dāng)＜x＜4+時(shí)，重疊部分是△BB′H．分別求解即可．

解：（1）如圖1中，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=90°，AD=BC=，

∴tan∠ABD=，

∴∠ABD=60°，

故答案為：60．

（2）結(jié)論：BD⊥B′D′，BD=B′D′．

理由：如圖2中，延長(zhǎng)BD交D′B′于H．

∵∠B=∠D′，∠BDA=∠HDD′，

∴∠BAD=∠DHD′=90°，

∴BD⊥B′D′．

∵BD與B′D′為矩形的對(duì)角線(xiàn)，則BD=B′D′；

故答案為：BD=B′D′，BD⊥B′D′．

（3）①如圖3-1中，當(dāng)0＜x≤時(shí)，重疊部分是四邊形ACDH，

由題意：AB=，AH=AB=，

∵AH∥CD，

∴，

∴，

∴BH=，

∴DH=8-（）=，

y=x+4+

=x+4+4

=；

②如圖3-2中，當(dāng)＜x≤4時(shí)，重疊部分是五邊形ACMNH．

=

=；

③如圖3-3中，當(dāng)4＜x≤時(shí)，重疊部分是四邊形AB′NH．

=

=；

④如圖3-4中，當(dāng)時(shí)，重疊部分是△BB′H．

；

故答案為：；