Question

如圖，已知△ABC中，∠ABC =90°，以CB為直徑的⊙O交CA于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作AB的平行線交CB于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)G， 若⊙O的半徑為5，EG=8
（1）求BF的長(zhǎng)；
（2）若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，連結(jié)DE，① 證明：DE是⊙O的切線； ② 求直角梯形BDEF的腰（DE）長(zhǎng)。

Answer 1

解：連結(jié)OE
（1）解：∵EG∥AB，∠ABC =90°，EG=8，
   ∴OF⊥EG
   ∴EF=FG=4
  在Rt△OEF中由勾股定理得=3，
   ∴BF=OB-OF=5-3=2。
（2）① 證明∵BC是⊙O的直徑，
   ∴∠BEC =∠AEB=90°
   ∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
   ∴ED=BD ∴∠DEB =∠DBE
   ∵OB=OE，∴∠OEB =∠OBE
   ∵∠OED=∠OEB +∠DEB=∠DBE+∠OBE=∠DBC =90°
   ∴DE是⊙O的切線。
  ② 解過(guò)點(diǎn)D作DH⊥EG于H，設(shè)DE=x
   ∵∠ABC =90°， ∴AB是⊙O的切線,
   由①知DE是⊙O的切線，
   ∴BD=DE=x，矩形HDBF中有HF=BD=x,
   ∴EH=4-x
  在Rt△DEH中，∠DHE=90°，
   由勾股定理得；
  ∴，
  解得x=，即DE的長(zhǎng)為。