Question

如圖：在△ABC中，∠ABC=30°，BC=4

3

，AB=4，以AB長為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D．
（1）試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（2）過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，求證：直線DE是⊙O的切線．

Answer 1

分析：（1）△ABC是等腰三角形．如圖，連接AD．欲證明△ABC是等腰三角形，只需證得AD是邊BC的中垂線即可；
（2）如圖，連接OD，只需證得半徑OD⊥ED即可推知直線DE是⊙O的切線．

解答：（1）解：△ABC是等腰三角形．理由如下：
如圖，連接AD．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°．
又∵∠ABC=30°，AB=4，
∴AD=

1

2

AB=2，
∴BD=

AB2-AD2

=

42-22

=2

3

．
∵BC=4

3

，
∴BD=

1

2

BC，即AD是BC的中垂線，
∴△ABC的等腰三角形；

（2）證明：如圖，D作DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，連接OD．
∵AO=BO，CD=BD，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD．
∵OD是半徑，
∴直線DE是⊙O的切線．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．