Question

【題目】如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形ABCD是菱形，A(-4，4)，B點(diǎn)在第一象限，AB=5，AB與y軸交于點(diǎn)F，對(duì)角線(xiàn)AC交y軸于點(diǎn)E.

(1)直接寫(xiě)出B點(diǎn)C點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)動(dòng)點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿折線(xiàn)段C—D—A運(yùn)動(dòng)，求△EDP的面積y與時(shí)間t的關(guān)系式

(3)在(2)的條件下，是否存在一點(diǎn)P，使△APE沿其一邊翻折構(gòu)成的四邊形是菱形，若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1)B(1，4)，C(4，0)；(2)y=5-t(0≤t<5)，y=t-5(5<t≤10)；(3)存在，P(-2.5，2)或P(-4，)

【解析】

（1）根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)和AB=5可得B點(diǎn)坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥OC，求出GC即可得到C點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）過(guò)點(diǎn)E作EN⊥BC于點(diǎn)N，延長(zhǎng)EN交AD于M，所以MN⊥AD，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得OE=EN，OC=CN=4，在Rt△BNE和Rt△BFE中，通過(guò)勾股定理構(gòu)建方程求出OE=EF=ME=2，然后根據(jù)三角形面積公式列式即可；

（3）分兩種情況：①點(diǎn)P在DA上，且AP=AE時(shí)，沿PE翻折,可得四邊形為菱形，此時(shí)可根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出PR，DR，從而得到P點(diǎn)坐標(biāo)；②當(dāng)P在DA上，且AP=PE時(shí)，沿AE翻折,可得四邊形為菱形，此時(shí)PE為△ADC的中位線(xiàn)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求出P點(diǎn)坐標(biāo).

解:(1)∵A(-4，4),AB=5，四邊形ABCD是菱形，

∴B (1，4),BF=1，

過(guò)點(diǎn)B作BG⊥OC，則BG=4，BC=5，

∴GC=3，

∴C(4,0)

（2）過(guò)點(diǎn)E作EN⊥BC于點(diǎn)N，延長(zhǎng)EN交AD于M，所以MN⊥AD，

∵四邊形ABCD是菱形，∴∠DCA=∠BCA，

∴OE=EN，

由（1）知OC=4，∴CN=4，BN=1，

設(shè)OE=x，則OE=EN=x，EF=4-x，

在Rt△BNE中，BE2=x2+1，在Rt△BFE中，BE2=(4-x)2+1，

∴x2+1=(4-x)2+1，解得：x=2，即OE=2，EF=2，

∴ME=EF=2，

∴當(dāng)點(diǎn)P在CD上時(shí)，y=，

當(dāng)點(diǎn)P在DA上時(shí)，y=，

（3）①如圖：點(diǎn)P在DA上，且AP=AE時(shí)，沿PE翻折,可得四邊形為菱形，

作AQ⊥OQ，PR⊥OQ，由（1）（2）可得OD=1，EF=2,AF=4，

根據(jù)勾股定理可得：AP=AE=，∴PD=5-，

易得△PRD∽△AQD，∴，

∴PR=4-，DR=3-，∴OR=4-，

∴此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（）；

②如圖：當(dāng)P在DA上，且AP=PE時(shí)，沿AE翻折,可得四邊形為菱形，

∵AP=PE，∴∠PAE=∠PEA，

又∵∠PAE=∠EAF，

∴∠PEA=∠EAF，

∴AF∥PE∥CD，

由（1）（2）可知E為AC中點(diǎn)，∴P為AD中點(diǎn)，

∵A（-4,4），D（-1,0），

∴P（）

綜上所述：滿(mǎn)足題意的P點(diǎn)坐標(biāo)為（）或（）.