Question

如圖所示，正方形ABCD，邊長為1，E、F分別是DC、BC上的點，若△AEF是等邊三角形，則AF的值為（　�。�

• A．2-

  3

• B．2+

  3

• C．

  6

  -

  2

• D．

  6

  +

  2

Answer 1

分析：證明△ADE≌△ABF，得出DE=BF，繼而得出CE=CF，設BF=x，則CE=CF=1-x，在Rt△ABF和Rt△CEF中利用勾股定理分別表示出AF²，EF²，建立方程，解出x的值后，即可得出答案．

解答：解：∵△AEF是等邊三角形，
∴AE=AF=EF，
又∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC=CD，
在Rt△ADE和Rt△ABF中，

AD=AB AE=AF

，
∴Rt△ADE≌Rt△ABF（HL），
∴DE=BF，
∴CD-DE=BC-BF，即CE=CF，
設BF=x，則CE=CF=1-x，
在Rt△ABF中，AF²=AB²+BF²，即AF²=1+x²，
在Rt△CEF中，EF²=CE²+CF²，即EF²=（1-x）²+（1-x）²，
則1+x²=（1-x）²+（1-x）²，
解得：x₁=2+

3

（舍去），x₂=2-

3

，
∴AF²=1+（2-

3

）²=8-4

3

，
∴AF=

6

-

2

．
故選C．

點評：本題考查了正方形的性質，解答本題需要同學們掌握全等三角形的判定與性質，勾股定理及等邊三角形的性質，綜合性較強．