Question

如圖，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB為直徑的⊙O分別交BC、AC于點(diǎn)D、E，且點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)

．

(1)求證：△ABC為等邊三角形；

(2)求DE的長；

(3)在線段AB的延長線上是否存在一點(diǎn)P，使△PBD≌△AED？

若存在，請求出PB的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）連接AD∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90° ，

∵

點(diǎn)D是BC上的中點(diǎn)．     

∴AD⊥BC,BA=AC，∵BC=AB∴AB=BC=CA

∴△ABC是等邊三角形，

 (2) 連接BE

∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB=90° ，

∵△ABC是等邊三角形，

      ∴ AE=EC．即E是AC的中點(diǎn)

    ∵D是BC的中點(diǎn)，

    ∴DE=AB=*2=1．

（3）存在點(diǎn)P使連結(jié)△PBD≌△AED．

由（1）（2）知BD=ED

∵∠BAC＝60°.DE∥AB∴∠AED＝120°.　又∵∠ABC＝60°，∴∠PBD＝120°

∴∠PBD＝∠AED

要使△PBD≌△AED，只需PB=AE=1即可