Question

【題目】我區(qū)某校舉行冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)，其中一個(gè)項(xiàng)目是乒乓球比賽，比賽為單循環(huán)制，即所有參賽選手彼此恰好比賽一場(chǎng). 記分規(guī)則是：每場(chǎng)比賽勝者得3分、負(fù)者得0分、平局各得1分. 賽后統(tǒng)計(jì)，所有參賽者的得分總知為210分，且平局?jǐn)?shù)不超過(guò)比賽總場(chǎng)數(shù)的，本次友誼賽共有參賽選手__________人.

Answer 1

【答案】13

【解析】

所有場(chǎng)數(shù)中，設(shè)分出勝負(fù)有x場(chǎng)，平局y場(chǎng)，可知分出勝負(fù)的x場(chǎng)里，只有勝利一隊(duì)即3分，總得分為3x；平局里兩隊(duì)各得1分，總得分為2y；所以有3x+2y=210．又根據(jù)“平局?jǐn)?shù)不超過(guò)比賽場(chǎng)數(shù)的”可求出x與y之間的關(guān)系，進(jìn)而得到滿(mǎn)足的9組非負(fù)整數(shù)解．又設(shè)有a人參賽，每人要與其余的（a-1）人比賽，即共a（a-1）場(chǎng)，但這樣每?jī)扇酥�間是比賽了兩場(chǎng)的，所以單循環(huán)即場(chǎng)，即＝x+y，找出x與y的9組解中滿(mǎn)足關(guān)于a的方程有正整數(shù)解，即求出a的值．

設(shè)所有比賽中分出勝負(fù)的有x場(chǎng)，平局y場(chǎng)，得：

由①得：2y=210-3x

由②得：2y≤x

∴210-3x≤x

解得：x≥，

∵x、y均為非負(fù)整數(shù)

∴，，，……，

設(shè)參賽選手有a人，得：＝x+y

化簡(jiǎn)得：a2-a-2（x+y）=0

∵此關(guān)于a的一元二次方程有正整數(shù)解

∴△=1+8（x+y）必須為平方數(shù)

由得：1+8×（54+24）=625，為25的平方

∴解得：a1=-12（舍去），a2=13

∴共參賽選手有13人．

故答案為：13．