Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象交坐標軸于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三點，點P是直線BC下方拋物線上一動點．

（1）求這個二次函數的解析式；

（2）動點P運動到什么位置時，△PBC面積最大，求出此時P點坐標和△PBC的最大面積．

（3）是否存在點P，使△POC是以OC為底邊的等腰三角形？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由；

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣3x﹣4；（2）當P點坐標為（2，﹣6）時，△PBC的最大面積為8；（3）存在，點P的其坐標為.

【解析】試題分析：（1）由A、B、C三點的坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；

（2）過P作PE⊥x軸，交x軸于點E，交直線BC于點F，用P點坐標可表示出PF的長，則可表示出△PBC的面積，利用二次函數的性質可求得△PBC面積的最大值及P點的坐標；

（3）由題意可知點P在線段OC的垂直平分線上，則可求得P點縱坐標，代入拋物線解析式可求得P點坐標．

試題解析：解：（1）設拋物線解析式為，把A、B、C三點坐標代入可得： ，解得： ，∴拋物線解析式為；

（2）∵點P在拋物線上，∴可設P（t，t2﹣3t﹣4），過P作PE⊥x軸于點E，交直線BC于點F，如圖2，∵B（4，0），C（0，﹣4），∴直線BC解析式為y=x﹣4，∴F（t，t﹣4），∴PF=（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）=﹣t2+4t，∴S△PBC=S△PFC+S△PFB=PFOE+PFBE=PF（OE+BE）=PFOB=（﹣t2+4t）×4=﹣2（t﹣2）2+8，∴當t=2時，S△PBC最大值為8，此時t2﹣3t﹣4=﹣6，∴當P點坐標為（2，﹣6）時，△PBC的最大面積為8；

（3）作OC的垂直平分線DP，交OC于點D，交BC下方拋物線于點P，如圖1，∴PO=PD，此時P點即為滿足條件的點，∵C（0，﹣4），∴D（0，﹣2），∴P點縱坐標為﹣2，代入拋物線解析式可得x2﹣3x﹣4=﹣2，解得x=（小于0，舍去）或x=，∴存在滿足條件的P點，其坐標為（，﹣2）．