Question

【題目】如圖，已知菱形中，，為鈍角，于點，為的中點，連接，.若，則過、、三點的外接圓半徑為______.

Answer 1

【答案】

【解析】

通過延長MN交DA延長線于點E，DF⊥BC,構造全等三角形，根據全等性質證出DE=DM,,再通過AE=BM=CF,在Rt△DMF和Rt△DCF中，利用勾股定理列方程求DM長，根據圓的性質即可求解.

如圖，延長MN交DA延長線于點E，過D作DF⊥BC交BC延長線于F,連接MD,

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=4，AD∥BC,

∴∠E=∠EMB, ∠EAN=∠NBM,

∵AN=BN,

∴△EAN≌BMN,

∴AE=BM,EN=MN,

∵,

∴DN⊥EM,

∴DE=DM,

∵AM⊥BC,DF⊥BC,AB=DC,AM=DF

∴△ABM≌△DCF,

∴BM=CF,

設BM=x,則DE=DM=4+x,

在Rt△DMF中，由勾股定理得，DF2=DM2-MF2=(4+x)2-42,

在Rt△DCF中，由勾股定理得，DF2=DC2-CF2=4 2-x2,

∴(4+x)2-42=4 2-x2,

解得，x1=,x2=（不符合題意，舍去）

∴DM=，

∴

∴過、、三點的外接圓的直徑為線段DM,

∴其外接圓的半徑長為.

故答案為：.