Question

如圖，已知平面直角坐標系中，菱形ABCD的頂點分別在x軸、y軸上，其中C，D兩點的坐標分別為（4，0），（0，-3）．兩動點P、Q分別從A、C同時出發(fā)，點P以每秒1個單位的速度沿線段AB向終點B運動，點Q以每秒2個單位的速度沿折線CDA向終點A運動，設運動時間為x秒．
（1）求菱形ABCD的高h和面積s的值；
（2）當Q在CD邊上運動，x為何值時直線PQ將菱形ABCD的面積分成1：2兩部分；
（3）設四邊形APCQ的面積為y，求y關于x的函數關系式（要寫出x的取值范圍）；在P、Q運動的整個過程中是否存在y的最大值？若存在，求出這個最大值，并指出此時P、Q的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖1，過B點作BH⊥CD，垂足為H，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴OB=OD=3，OA=OC=4，
在Rt△COD中，CD==5，
∴S_菱形ABCD=4S_△COD=4××4×3=24，
又∵S_菱形ABCD=CD×BH，即5h=24，解得h=；

（2）依題意，得AP=x，DQ=5-2x，則S_梯形APQD=（x+5-2x）×=（5-x），
當S_梯形APQD=S_菱形ABCD時，（5-x）=8，解得x=，
當S_梯形APQD=S_菱形ABCD時，（5-x）=16，解得x=-（舍去）；

（3）存在．
當點Q在CD上時，如圖2，依題意，得AP=x，CQ=2x，
∴y=（x+2x）×=x（0≤x≤），
當x=時，y有最大值，最大值為×=18，⊙
此時P點在線段AB的中點，Q點與D點重合；
當點Q在AD上時，如圖3，
y=（x+10-2x）×=24-x（＜x＜5），
y無最大值．
分析：（1）如圖1，過B點作BH⊥CD，垂足為H，由菱形的性質可知OB=OD=3，OA=OC=4，在Rt△COD中，由勾股定理求CD，根據S_菱形ABCD=4S_△COD求菱形面積，再根據S_菱形ABCD=CD×BH求h；
（2）根據P、Q兩點運動速度表示AP，DQ，由S_梯形APQD=S_菱形ABCD，或S_梯形APQD=S_菱形ABCD，兩種情況分別求x的值；
（3）根據P、Q兩點運動速度表示AP，CQ，根據梯形面積公式表示y，再根據函數的性質求y的最大值及此時x的值．
點評：本題考查了一次函數的綜合運用．關鍵是根據題意求菱形的邊長，高，面積，根據梯形的面積公式列方程求解．