Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于點(diǎn)D．點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DC向點(diǎn)C運(yùn)動，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CA向點(diǎn)A運(yùn)動，兩點(diǎn)同時出發(fā)，速度都為每秒1個單位長度，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到C時，兩點(diǎn)都停止．設(shè)運(yùn)動時間為t秒．

（1）求線段CD的長；
（2）當(dāng)t為何值時，△CPQ與△ABC相似？
（3）當(dāng)t為何值時，△CPQ為等腰三角形？

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，

∴AB=10．

∵CD⊥AB，

∴S△ABC= BCAC= ABCD．

∴CD= = =4.8．

∴線段CD的長為4.8．

（2）

解：由題可知有兩種情形，

設(shè)DP=t，CQ=t．則CP=4.8﹣t．

①當(dāng)PQ⊥CD時，如圖a

∵△QCP∽△△ABC

∴ = ，即 = ，

∴t=3；

②當(dāng)PQ⊥AC，如圖b．

∵△PCQ∽△ABC

∴ = ，即 = ，解得t= ，

∴當(dāng)t為3或 時，△CPQ與△△ABC相似；

（3）

解：①若CQ=CP，如圖1，

則t=4.8﹣t．

解得：t=2.4．

②若PQ=PC，如圖2所示．

∵PQ=PC，PH⊥QC，

∴QH=CH= QC= ．

∵△CHP∽△BCA．

∴ = ．

∴ = ，解得t= ．

③若QC=QP，

過點(diǎn)Q作QE⊥CP，垂足為E，如圖3所示．

同理可得：t= ．

綜上所述：當(dāng)t為2.4秒或 秒或 秒時，△CPQ為等腰三角形．

【解析】（1）先根據(jù)勾股定理求出AB的長，再由三角形的面積公式即可得出結(jié)論；（2）先用t表示出DP，CQ，CP的長，再分PQ⊥CD與PQ⊥AC兩種情況進(jìn)行討論；（3）根據(jù)題意畫出圖形，分CQ=CP，PQ=PC，QC=QP三種情況進(jìn)行討論．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用等腰三角形的判定和勾股定理的概念，掌握如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）．這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2即可以解答此題．