Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝－x2－x＋2與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C.

(1)求點A，B，C的坐標；

(2)此拋物線的對稱軸上是否存在點M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) 點A的坐標為(2，0)，點B的坐標為(－4，0)，點C的坐標為(0，2)；(2) 點M坐標為(－1，－1)或(－1，2＋)或(－1，2－)．

【解析】試題分析：（1）由拋物線y＝－x2－x＋2與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，分別令y=0與x=0，即可求得答案；

（2）分別從M，C，A為頂點去分析求解即可求得答案．

試題解析：(1)令y＝0，得－x2－x＋2＝0，

∴x2＋2x－8＝0，解得x1＝－4，x2＝2，

∴點A的坐標為(2，0)，點B的坐標為(－4，0)，

令x＝0，得y＝2，

∴點C的坐標為(0，2)；

(2)①當C為等腰三角形的頂角的頂點時，CM1＝CA＝2，CM2＝CA，

作M1N⊥OC于N，則M1N＝1.

在Rt△CM1N中，CN＝＝，

∴點M1坐標為(－1，2＋)，點M2坐標為(－1，2－)；

②當M3為等腰三角形的頂角的頂點時，

易求直線AC的表達式為y＝－x＋2，

∴線段AC的垂直平分線為y＝x與對稱軸的交點為M3(－1，－1)，

∴點M3的坐標為(－1，－1)；

③當點A為等腰三角形的頂角的頂點的三角形不存在，

綜上所述：點M坐標為(－1，－1)或(－1，2＋)或(－1，2－)．