Question

【題目】問題探究：在邊長為的正方形中，對(duì)角線、交于點(diǎn)．

探究：如圖，若點(diǎn)是對(duì)角線上任意一點(diǎn)，則線段的長的取值范圍是__________；

探究：如圖，若點(diǎn)是內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)、分別是邊和對(duì)角線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng) 的值在探究中的取值范圍內(nèi)變化時(shí)， 的周長是否存在最小值？如果存在，請(qǐng)求出周長的最小值，若不存在，請(qǐng)說明理由；

問題解決：如圖，在邊長為的正方形中，點(diǎn)是內(nèi)任意一點(diǎn)，且，點(diǎn)、分別是邊和對(duì)角線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)的周長取到最小值時(shí)，求四邊形面積的最大值．

Answer 1

【答案】（）；（）存在，2；（3）.

【解析】試題分析：(1)當(dāng)P與O重合時(shí)，PA的值最小，最小值為 ；當(dāng)P與B或D重合時(shí)，PA的值最大，最大值為4，即可得線段的長的取值范圍；(2)存在.如圖2中，作點(diǎn)P關(guān)于AB、AC的對(duì)稱點(diǎn)E、F，連接EF交AB于M,交AC于N，連接AE、AF、PA.由PM+MN+PN=EM+NM+NF=EF ，推出點(diǎn)P位置確定時(shí)，此時(shí)△PMN的周長最小，最小值為線段EF的長，由∠PAM=∠EAM，∠PAN=∠FAN，∠BAC=45°，推出∠EAF=2∠BAC=90°，由PA=PE=PF，推出△EAF 是等腰直角三角形,由PA的最小值為，可得線段EF的最小值為2，由此即可解決問題；(3)如圖3中，在圖2的基礎(chǔ)上,以A為圓心AB為半徑作⊙A ,PA交EF于點(diǎn)O.由△MAP≌△MAE, △NAP≌△NAF，推出，由此可以知道△AMN 的面積最小時(shí),四邊形AMPN的面積最大.

試題解析：

（1）圖1中,

∵四邊形ABCD是正方形,邊長為4,

∴AC⊥BD,AC=BD=4

當(dāng)P與O重合時(shí)，PA的值最小，最小值為2,

當(dāng)P與B或D重合時(shí),PA的值最大,最大值為4,

∴；

(2)存在.

理由：如圖2中，作點(diǎn)P關(guān)于AB、AC的對(duì)稱點(diǎn)E、F，連接EF交AB于M，交AC于N，連接AE、AF、PA.

∵PM+MN+PN=EM+NM+NF=EF，

∴點(diǎn)P位置確定時(shí)，此時(shí)的周長最小，最小值為線段EF的長，

∵∠PAM=∠EAM，∠PAN=∠FAN，∠BAC=45°，

∴∠EAF=2∠BAC=90°，

∵PA=PE=PF,

∴△EAF是等腰直角三角形,

∵PA的最小值為,

∴線段EF的最小值為2,

∴△PMN的周長的最小值為2.

(3)如圖3中，在圖2的基礎(chǔ)上，以A為圓心AB為半徑作⊙A，PA交EF于點(diǎn)O.

根據(jù)題意點(diǎn)P在上⊙A，

∵△MAP≌△MAE, △NAP≌△NAF，

∴

∵PA=AE=AF=4,

∴=8.

∴△AMN的面積最小時(shí)，四邊形AMPN的面積最大，

易知當(dāng)PA⊥MN時(shí), △AMN 的面積最小，此時(shí)OA=，OM=ON=OP=4-,

∴MN=8-4 ,

∴,

∴四邊形AMPN的面積的最大值=.