Question

【題目】如圖，已知，BD為△ABC的角平分線，且BD=BC，E為BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，BE=BA．下列結(jié)論：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC；④AC=2CD．其中正確的有（ ） 個(gè)．

A. 1 B. 2 C. 3 D．4

Answer 1

【答案】C

【解析】①∵BD為△ABC的角平分線，

∴∠ABD=∠CBD，

在△ABD和△EBC中，

BD=BC，∠ABD=∠CBD，BE=BA，

∴△ABD≌△EBC(SAS)，

∴①正確；

②∵BD為△ABC的角平分線，BD=BC，BE=BA，

∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，

∵△ABD≌△EBC，

∴∠BCE=∠BDA，

∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，

∴②正確；

③∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA，

∴∠DCE=∠DAE，

∴△ACE為等腰三角形，

∴AE=EC，

∵△ABD≌△EBC，

∴AD=EC，

∴AD=AE=EC，

∵BD為△ABC的角平分線，EF⊥AB，而EC不垂直與BC，

∴EF≠EC，

∴③錯(cuò)誤；

④過E作EG⊥BC于G點(diǎn)，

∵E是BD上的點(diǎn)，∴EF=EG，

在RT△BEG和RT△BEF中，

BE=BE，EF=EG，

∴RT△BEG≌RT△BEF(HL)，

∴BG=BF，

在RT△CEG和RT△AFE中，

EF=FG，AE=CE，

∴RT△CEG≌RT△AFE(HL)，

∴AF=CG，

∴AC=2CD，

∴④正確。

故選：C.