Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+2x﹣與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側)，與y軸交于點C，頂點為D，對稱軸與x軸交于點E，直線CE交拋物線于點F(異于點C)，直線CD交x軸交于點G．

(1)如圖1，求直線CE的解析式和頂點D的坐標；

(2)如圖1，點P為直線CF上方拋物線上一點，連接PC、PF，當△PCF的面積最大時，點M是過P垂直于x軸的直線l上一點，點N是拋物線對稱軸上一點，求FM+MN+NO的最小值；

(3)如圖2，過點D作DI⊥DG交x軸于點I，將△GDI沿射線GB方向平移至△G′D′I′處，將△G′D′I′繞點D′逆時針旋轉α(0＜α＜180°)，當旋轉到一定度數(shù)時，點G′會與點I重合，記旋轉過程中的△G′D′I′為△G″D′I″，若在整個旋轉過程中，直線G″I″分別交x軸和直線GD′于點K、L兩點，是否存在這樣的K、L，使△GKL為以∠LGK為底角的等腰三角形？若存在，求此時GL的長．

Answer 1

【答案】(1) D(2，)；y＝x﹣；(2)；(3)存在，GL的長為4或2+2．

【解析】

（1）根據(jù)拋物線解析式求得點C和點D的坐標，再根據(jù)拋物線對稱軸求得點E的坐標，運用待定系數(shù)法求得CE的解析式.

（2）根據(jù)題意求得F點的坐標，過P作PH⊥x軸，交CE于H， 設P(a，﹣a2+2a﹣) 則H(a，a﹣)，將PH和△PCF的面積表示出來，根據(jù)二次函數(shù)圖像的性質可得△PCF的面積最大值.作點M關于對稱軸的對稱點M'，過F點作FG∥MM'，易證FGM'M是平行四邊形，FM+MN+ON＝GM'+NM'+ON，

根據(jù)兩點之間線段最短可知：當O，N，M'，G四點共線時，GM'+NM'+ON的值最短，即 FM+MN+ON的值最小，代入數(shù)值即可求得.

（3）用待定系數(shù)法求得直線CD的函數(shù)解析式，求得G點坐標和DG的長度，當旋轉到一定度數(shù)時，點G′會與點I重合，連接D'I，證得△G'D'I是等邊三角形，分情況討論即可得到GL的長.

解：(1)∵拋物線y＝﹣x2+2x﹣與y軸交于點C，

∴C(0，﹣)，

∵y＝﹣x2+2x﹣＝﹣(x﹣2)2+，

∴頂點D(2，)，對稱軸x＝2，

∴E(2，0)，

設CE解析式y＝kx+b，

∴，

解得：，

∴直線CE的解析式：y＝x﹣；

(2) ∵直線CE交拋物線于點F(異于點C)，

∴x﹣＝﹣(x﹣2)2+，

∴x1＝0，x2＝3，

∴F(3，)，

過P作PH⊥x軸，交CE于H，如圖1，

設P(a，﹣a2+2a﹣) 則H(a，a﹣)，

∴PH＝﹣a2+2a﹣﹣(a﹣)，

＝﹣a2+，

∵S△CFP＝PH×3＝﹣a2+，

∴當a＝時，S△CFP面積最大，

作點M關于對稱軸的對稱點M'，過F點作FG∥MM'，FG＝1，即G(4，)，如圖2

∵M的橫坐標為，且M與M'關于對稱軸x＝2對稱，

∴M'的橫坐標為，

∴MM'＝1，

∴MM'＝FG，且FG∥MM'，

∴FGM'M是平行四邊形，

∴FM＝GM'，

∴FM+MN+ON＝GM'+NM'+ON，

根據(jù)兩點之間線段最短可知：當O，N，M'，G四點共線時，GM'+NM'+ON的值最短，即 FM+MN+ON的值最小，

∴FM+MN+ON＝OG＝＝；

(3)如圖3，設CD解析式y＝mx+n，則，

解得：，

∴CD解析式y＝x﹣，

∴當y＝0時，x＝1．即G(1，0)，

∴DG＝＝2，

∵tan∠DGI＝＝，

∴∠DGI＝60°，

∵DI⊥DG，

∴∠GDI＝90°，∠GID＝30°，

∴GI＝2DG＝4

∴I(5，0)，

∵將△GDI沿射線GB方向平移至△G′D′I′處，將△G′D′I′繞點D′逆時針旋轉α(0＜α＜180°)，當旋轉到一定度數(shù)時，點G′會與點I重合，連接D'I，

∴G'D'＝D'I＝DG＝2，∠D'G'I＝∠DGI＝60°，

∴△G'D'I是等邊三角形，

∴G'I＝2，G'K＝2D'G'＝4

∴G'(3，0)，

如圖4，當I'與I、K重合，△GKL為以∠LGK為底角的等腰三角形，∠LGK＝∠GLK＝30°，

∴GL＝D'G+D'L＝4；

如圖5，L與G'重合，△GKL為以∠LGK為底角的等腰三角形，

∴GL＝GD'+D'L＝2+2

綜上，GL的長為4或2+2．