Question

【題目】如圖，兩條直線AB，CD相交于點O，且∠AOC＝∠AOD，射線OM從OB開始繞O點逆時針方向旋轉，速度為15°/s，射線ON同時從OD開始繞O點順時針方向旋轉，速度為12°/s，運動時間為t秒（0＜t＜12，本題出現(xiàn)的角均小于平角）

（1）圖中一定有　 　個直角；當t＝2時，∠MON的度數(shù)為　 　，∠BON的度數(shù)為　 　；

（2）若OE平分∠COM，OF平分∠NOD，當∠EOF為直角時，請求出t的值；

（3）當射線OM在∠COB內部，且是定值時，求t的取值范圍，并求出這個定值．

Answer 1

【答案】(1)4；144°，114°；(2)t的值為10s；(3)當射線OM在∠COB內部，且是定值時，t的取值范圍為＜t＜6，這個定值是3

【解析】

(1)由直線AB，CD相交于點O，∠AOC＝∠AOD即可得到共4個直角；當t＝2時求得∠BOM＝30°，∠NON＝24°，即可得到∠MON、∠BON的度數(shù)；

(2)用t分別表示出∠BOM＝15t，∠NOD＝12t，∠COM＝15t﹣90°，根據(jù)OE平分∠COM，OF平分∠NOD，分別求得∠COE、∠DOF,由∠EOF為直角即∠COE+∠DOF＝90°，列出方程解答即可.

(3)先確定∠MON＝180°時，∠BOM＝90°時t的值，再分兩種情況進行計算，得到0＜t＜時不是定值，當＜t＜6時，=3是定值.

（1）如圖所示，∵兩條直線AB，CD相交于點O，∠AOC＝∠AOD，

∴∠AOC＝∠AOD＝90°，

∴∠BOC＝∠BOD＝90°，

∴圖中一定有4個直角；

當t＝2時，∠BOM＝30°，∠NON＝24°，

∴∠MON＝30°+90°+24°＝144°，

∠BON＝90°+24°＝114°；

故答案為：4；144°，114°；

（2）如圖所示，∠BOM＝15t，∠NOD＝12t，∠COM＝15t﹣90°，

∵OE平分∠COM，OF平分∠NOD，

∴∠COE＝∠COM＝（15t﹣90°），∠DOF＝∠DON＝×12t，

∵當∠EOF為直角時，∠COE+∠DOF＝90°，

∴（15t﹣90°）＝×12t，

解得t＝10，

∴當∠EOF為直角時，t的值為10s；

（3）當∠MON＝180°時，∠BOM+∠BOD+∠DON＝180°，

∴15t+90°+12t＝180°，

解得t＝，

當∠BOM＝90°時，15t＝90°，

解得t＝6，

①如圖所示，當0＜t＜時，

∠COM＝90°﹣15t，∠BON＝90°+12t，

∠MON＝∠BOM+∠BOD+∠DON＝15t+90°+12t，

∴＝，（不是定值）

②如圖所示，當＜t＜6時，

∠COM＝90°﹣15t，∠BON＝90°+12t，

∠MON＝360°﹣（∠BOM+∠BOD+∠DON）＝360°﹣（15t+90°+12t）＝270°﹣27t，

∴＝=3，（是定值）

綜上所述，當射線OM在∠COB內部，且是定值時，t的取值范圍為＜t＜6，這個定值是3．