Question

【題目】已知，是等邊三角形，是直線上一點(diǎn)，以為頂點(diǎn)做 ． 交過(guò)且平行于的直線于，求證：；當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，（如圖1）小明同學(xué)很快就證明了結(jié)論：他的做法是：取的中點(diǎn)，連結(jié)，然后證明． 從而得到，我們繼續(xù)來(lái)研究：

（1）如圖2、當(dāng)D是BC上的任意一點(diǎn)時(shí)，求證：

（2）如圖3、當(dāng)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：

（3）當(dāng)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)利用圖4畫(huà)出圖形，并說(shuō)明上面的結(jié)論是否成立（不必證明）．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（4）見(jiàn)解析，，仍成立

【解析】

（1）在AB上截取AF=DC，連接FD，證明△BDF是等邊三角形，得出∠BFD=60°，證出∠FAD=∠CDE，由ASA證明△AFD≌△DCE，即可得出結(jié)論；

（2）在BA的延長(zhǎng)線上截取AF=DC，連接FD，證明△BDF是等邊三角形得出∠F=60°，證出∠FAD=∠CDE，由ASA證明△AFD≌△DCE，即可得出結(jié)論；

（3）在AB的延長(zhǎng)線上截取AF=DC，連接FD，證明△BDF是等邊三角形，得出∠BFD=60°，證出∠FAD=∠CDE，由ASA證明△AFD≌△DCE，即可得出結(jié)論．

（1）證明：在AB上截取AF=DC，連接FD，如圖所示：

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC，∠B=60°，

又∵AF=DC，

∴BF=BD，

∴△BDF是等邊三角形，

∴∠BFD=60°，

∴∠AFD=120°，

又∵AB∥CE，

∴∠DCE=120°=∠AFD，

而∠EDC+∠ADE=∠ADC=∠FAD+∠B∠ADE=∠B=60°，

∴∠FAD=∠CDE，

在△AFD和△DCE中

，

∴△AFD≌△DCE（ASA），

∴AD=DE；

（2）證明：在BA的延長(zhǎng)線上截取AF=DC，連接FD，如圖所示：

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC，∠B=60°，

又∵AF=DC，

∴BF=BD，

∴△BDF是等邊三角形，

∴∠F=60°，

又∵AB∥CE，

∴∠DCE=60°=∠F，

而∠FAD=∠B+∠ADB，∠CDE=∠ADE+∠ADB，

又∵∠ADE=∠B=60°，

∴∠FAD=∠CDE，

在△AFD和△DCE中，

，

∴△AFD≌△DCE（ASA），

∴AD=DE；

（3）解：AD=DE仍成立．理由如下：

在AB的延長(zhǎng)線上截取AF=DC，連接FD，如圖所示：

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC，∠ABC=60°，

∴∠FAD+∠ADB=60°，

又∵AF=DC，

∴BF=BD，

∵∠DBF=∠ABC=60°，

∴△BDF是等邊三角形，

∴∠AFD=60°，

又∵AB∥CE，

∴∠DCE=∠ABC=60°，

∴∠AFD=∠DCE，

∵∠ADE=∠CDE+∠ADB=60°，

∴∠FAD=∠CDE，

在△AFD和△DCE中，

，

∴△AFD≌△DCE（ASA），

∴AD=DE．