Question

【題目】矩形OABC的頂點(diǎn)A(-8，0)、C(0，6)，點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)，拋物線y=ax2+bx經(jīng)過A、D兩點(diǎn)，如圖所示.

(1)求點(diǎn)D關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)D′的坐標(biāo)及a、b的值；

(2)在y軸上取一點(diǎn)P,使PA+PD長度最短,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)將拋物線y=ax2+bx向下平移,記平移后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為A1，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為D1，當(dāng)拋物線平移到某個(gè)位置時(shí)，恰好使得點(diǎn)O是y軸上到A1、D1兩點(diǎn)距離之和OA1+OD1最短的一點(diǎn)，求此拋物線的解析式.

Answer 1

【答案】（1）D′(4，6). a=-,b=-3.（2）P(0，4).（3）y=-x2-3x-4.

【解析】試題分析：（1）首先根據(jù)矩形的性質(zhì)得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)D′的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求得a、b的值即可；
（2）求得直線AD′的解析式后求得直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即為點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）首先利用待定系數(shù)法求得直線A1D1′的解析式，根據(jù)點(diǎn)O為使OA1+OD1最短的點(diǎn)求得m的值，從而確定拋物線的解析式．

試題解析：（1)由矩形的性質(zhì)可知：B(-8，6)，∴D(-4，6).∴點(diǎn)D關(guān)于y軸對稱點(diǎn)D′(4，6).

將A(-8，0)、D(-4，6)代入y=ax2+bx，得64a-8b=0,16a-4b=6.∴a=-,b=-3.

(2)設(shè)直線AD′的解析式為y=kx+n，∴-8k+n=0,4k+n=6.解得k=,n=4.

∴直線y=x+4與y軸交于點(diǎn)(0，4).∴P(0，4).

(3)解法1：由于OP=4，故將拋物線向下平移4個(gè)單位時(shí)，有OA1+OD1最短.

∴y+4=-x2-3x，即此時(shí)的解析式為y=-x2-3x-4.

解法2：設(shè)拋物線向下平移了m個(gè)單位，則A1(-8，-m)，D1(-4，6-m)，∴D′1（4，6-m）.

令直線A1D′1為y=k′x+b′.則-8k′+b′=-m,4k′+b′=6-m.∴k′=,b′=4-m.

∵點(diǎn)O為使OA1+OD1最短的點(diǎn)，∴b′=4-m=0.∴m=4，即將拋物線向下平移了4個(gè)單位.

∴y+4=-x2-3x，即此時(shí)的解析式為y=-x2-3x-4.