Question

【題目】如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E為AB上一點(diǎn)，以AE為直徑作⊙O與BC相切于點(diǎn)D，連接ED并延長(zhǎng)交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．

（1）求證：AE＝AF；

（2）若AE＝5，AC＝4，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．

【解析】

（1）連接OD，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得到OD⊥BC，根據(jù)平行線(xiàn)的判定定理得到OD∥AC，求得∠ODE＝∠F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OED＝∠ODE，等量代換得到∠OED＝∠F，于是得到結(jié)論；

（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．

證明：（1）連接OD，

∵BC切⊙O于點(diǎn)D，

∴OD⊥BC，

∴∠ODC＝90°，

又∵∠ACB＝90°，

∴OD∥AC，

∴∠ODE＝∠F，

∵OE＝OD，

∴∠OED＝∠ODE，

∴∠OED＝∠F，

∴AE＝AF；

（2）∵OD∥AC

∴△BOD∽△BAC，

∴，

∵AE＝5，AC＝4，

即，

∴BE＝．