Question

【題目】如圖，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點(diǎn)P（n，2），與x軸交于點(diǎn)A（﹣4，0），與y軸交于點(diǎn)C，PB⊥x軸于點(diǎn)B，且AC＝BC．

（1）求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式；

（2）根據(jù)圖象直接寫(xiě)出kx+b＜的x的取值范圍；

（3）反比例函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)D，使四邊形BCPD為菱形？如果存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x+1；y＝；（2）0＜x＜4；（3）存在；D（8，1）．

【解析】

（1）先根據(jù)題意得出P點(diǎn)坐標(biāo)，再將A、P兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=kx+b求出kb的值，故可得出一次函數(shù)的解析式，把點(diǎn)P（4，2）代入反比例函數(shù)y=即可得出m的值，進(jìn)而得出結(jié)論；

（2）利用圖象法，寫(xiě)出反比例函數(shù)圖象想一次函數(shù)圖象的上方的自變量的取值范圍即可；

（3）根據(jù)PB為菱形的對(duì)角線與PC為菱形的對(duì)角線兩種情況進(jìn)行討論即可．

（1）∵AC＝BC，CO⊥AB，A（﹣4，0），

∴O為AB的中點(diǎn)，即OA＝OB＝4，

∴P（4，2），B（4，0），

將A（﹣4，0）與P（4，2）代入y＝kx+b得：，

解得：，

∴一次函數(shù)解析式為y＝x+1，

將P（4，2）代入反比例解析式得：m＝8，即反比例解析式為y＝．

（2）觀察圖象可知，kx+b＜時(shí)，x的取值范圍0＜x＜4．

（3）如圖所示，

∵點(diǎn)C（0，1），B（4，0）

∴BC＝，PC＝，

∴以BC、PC為邊構(gòu)造菱形，

當(dāng)四邊形BCPD為菱形時(shí)，

∴PB垂直且平分CD，

∵PB⊥x軸，P（4，2），

∴點(diǎn)D（8，1）．

把點(diǎn)D（8，1）代入y＝，得左邊＝右邊，

∴點(diǎn)D在反比例函數(shù)圖象上．，

∵BC≠PB，

∴以BC、PB為邊不可能構(gòu)造菱形，

同理，以PC、PB為邊也不可能構(gòu)造菱形．

綜上所述，點(diǎn)D（8，1）．