Question

（2012•鹽都區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形OABC的邊長為1，點A、C分別在y軸的負(fù)半軸和x軸的正半軸上，拋物線y=ax²+2ax+c經(jīng)過點A、C，且與x軸的另一個交點為D．
（1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式及D點坐標(biāo)；
（2）點P在拋物線上，點Q在y軸上，要使以點P、Q、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件的點P的坐標(biāo)；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點R，使|AR-DR|的值最大？若存在，直接寫出點R的坐標(biāo)；若不存在，請簡要說明理由．

Answer 1

分析：（1）由正方形的邊長為1可知，A（0，-1），C（1，0），將A、C兩點坐標(biāo)代入y=ax²+2ax+c中，可求拋物線解析式，令y=0，可求D點坐標(biāo)；
（2）由C、D兩點坐標(biāo)可求線段CD長，點Q在y軸上，當(dāng)以點P、Q、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形時，PQ=CD，由此可設(shè)P點橫坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求P點縱坐標(biāo)；
（3）存在．連接AD與拋物線對稱軸交于R點，R點即為所求，根據(jù)A、D兩點坐標(biāo)求直線AD解析式，再把拋物線的對稱軸代入，可求R點的坐標(biāo)．

解答：解：（1）依題意，得A（0，-1），C（1，0），
代入y=ax²+2ax+c中，得

c=-1 a+2a+c=0

，解得

a= 1 3 c=-1

，
所以，拋物線解析式為y=

1

3

x²+

2

3

x-1，令y=0，得x₁=1，x₂=-3，
所以，D（-3，0）；

（2）由C（1，0），D（-3，0）得CD=4，
由于點Q在y軸上，當(dāng)以點P、Q、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形時（如圖1），
若P點橫坐標(biāo)為-4，代入拋物線解析式，得y=

1

3

×（-4）²+

2

3

×（-4）-1=

5

3

，
若P點橫坐標(biāo)為4，代入拋物線解析式，得y=

1

3

×4²+

2

3

×4-1=

5

3

=7，
所以，所有滿足條件的點P的坐標(biāo)（-4，

5

3

），（4，7）；

（3）存在．
連接AD與拋物線對稱軸交于R點，此時，|AR-DR|的值最大（如圖2），
設(shè)直線AD解析式為y=kx+b，將A（0，-1），D（-3，0）代入，得：

b=-1 -3k+b=0

，解得

k=- 1 3 b=-1

，
所以，直線AD解析式為y=-

1

3

x-1，
當(dāng)x=-1時，y=-

2

3

，
即R點坐標(biāo)為（-1，-

2

3

）．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運用．關(guān)鍵是根據(jù)題意求拋物線解析式，根據(jù)拋物線解析式求D點坐標(biāo)，再表示線段CD的長，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求P點坐標(biāo)，再根據(jù)圖形的性質(zhì)求使
|AR-DR|的值最大時，R點坐標(biāo)．