Question

【題目】等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，點(diǎn)A、點(diǎn)B分別是x軸、y軸兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直角邊AC交x軸于點(diǎn)D，斜邊BC交y軸于點(diǎn)E；

（1）如圖（1），若A（0，1），B（2，0），求C點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖（2），當(dāng)?shù)妊黂t△ABC運(yùn)動(dòng)到使點(diǎn)D恰為AC中點(diǎn)時(shí)，連接DE，求證：∠ADB=∠CDE

（3）如圖（3），在等腰Rt△ABC不斷運(yùn)動(dòng)的過程中，若滿足BD始終是∠ABC的平分線，試探究：線段OA、OD、BD三者之間是否存在某一固定的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）C（﹣1，﹣1）；（2）見解析；（3）BD=2（OA+OD）．

【解析】

試題分析：（1）過點(diǎn)C作CF⊥y軸于點(diǎn)F通過證△ACF≌△ABO得CF=OA=1，AF=OB=2，求得OF的值，就可以求出C的坐標(biāo)；

（2）過點(diǎn)C作CG⊥AC交y軸于點(diǎn)G，先證明△ACG≌△ABD就可以得出CG=AD=CD，∠DCE=∠GCE=45°，再證明△DCE≌△GCE就可以得出結(jié)論；

（3）在OB上截取OH=OD，連接AH，由對(duì)稱性得AD=AH，∠ADH=∠AHD，可證∠AHD=∠ADH=∠BAO=∠BEO，再證明△ACE≌△BAH就可以得出結(jié)論．

（1）解：過點(diǎn)C作CF⊥y軸于點(diǎn)F，

∴∠AFC=90°，

∴∠CAF+∠ACF=90°．

∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，

∴AC=AB，∠CAF+∠BAO=90°，∠AFC=∠BAC，

∴∠ACF=∠BAO．

在△ACF和△ABO中，

，

∴△ACF≌△ABO（AAS）

∴CF=OA=1，AF=OB=2

∴OF=1

∴C（﹣1，﹣1）；

（2）證明：過點(diǎn)C作CG⊥AC交y軸于點(diǎn)G，

∴∠ACG=∠BAC=90°，

∴∠AGC+∠GAC=90°．

∵∠CAG+∠BAO=90°，

∴∠AGC=∠BAO．

∵∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAO=90°，

∴∠ADO=∠BAO，

∴∠AGC=∠ADO．

在△ACG和△ABD中

∴△ACG≌△ABD（AAS），

∴CG=AD=CD．

∵∠ACB=∠ABC=45°，

∴∠DCE=∠GCE=45°，

在△DCE和△GCE中，

，

∴△DCE≌△GCE（SAS），

∴∠CDE=∠G，

∴∠ADB=∠CDE；

（3）解：在OB上截取OH=OD，連接AH

由對(duì)稱性得AD=AH，∠ADH=∠AHD．

∵∠ADH=∠BAO．

∴∠BAO=∠AHD．

∵BD是∠ABC的平分線，

∴∠ABO=∠EBO，

∵∠AOB=∠EOB=90°．

在△AOB和△EOB中，

，

∴△AOB≌△EOB（ASA），

∴AB=EB，AO=EO，

∴∠BAO=∠BEO，

∴∠AHD=∠ADH=∠BAO=∠BEO．

∴∠AEC=∠BHA．

在△AEC和△BHA中，

，

∴△ACE≌△BAH（AAS）

∴AE=BH=2OA

∵DH=2OD

∴BD=2（OA+OD）．