Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c（a≠0）與x軸、y軸分別交于點A（3，0）、B（0，3）兩點．

（1）試求拋物線的解析式和直線AB的解析式；
（2）動點E從O點沿OA方向以1個單位/秒的速度向終點A勻速運動，同時動點F沿AB方向以 個單位/秒的速度向終點B勻速運動，E、F任意一點到達終點時另一個點停止運動，連接EF，設(shè)運動時間為t，當t為何值時△AEF為直角三角形？
（3）拋物線位于第一象限的圖象上是否存在一點P，使△PAB面積最大？如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=﹣x2+bx+c（a≠0）經(jīng)過A（3，0），B（0，3），

∴ ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3，

設(shè)直線y=kx+n，

∴ ，解得 ，

∴直線AB的解析式為y=x+3

（2）

解：由題意可知OE=t，則AF= t，AE=3﹣t，

∵△AEF為直角三角形，

∴有∠AEF=90°和∠AFE=90°兩種情況，

①當∠AEF=90°時，則有△AOB∽△AEF，

∴ = ，即 = ，解得t= ；

②當∠AFE=90°時，則有△AOB∽△AFE，

∴ = ，即 = ，解得t=1；

綜上可知當t為 或1時△AEF為直角三角形

（3）

解：如圖，過P作PC∥y，AB于點C，交x軸于點D，

設(shè)P（x，﹣x2+2x+3）（0＜x＜3），則C（x，﹣x+3），

∵P為拋物線在第一象限內(nèi)的點，

∴PC=﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x，

∴S△PAB=S△PBC+S△PAC= PCOD+ PCAD= PCOA= PC= （﹣x2+3x）=﹣ （x﹣ ）2+ ，

∵﹣ ＜0，

∴當x= 時，S△PAB有最大值 ，此時P點坐標為（ ， ），

綜上可知存在滿足條件的點P，其坐標為（ ， ）

【解析】（1）根據(jù)A、B兩點的坐標，利用待定系數(shù)法可求得拋物線和直線AB的解析式；（2）骼t可表示出OE、AF、AE的長，分∠AEF=90°和∠AFE=90°兩種情況，可分別證明△AOB∽△AEF和△AOB∽△AFE，利用相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值；（3）過P作PC∥y，AB于點C，交x軸于點D，可設(shè)出P點坐標，用P點坐標可表示也PC的長，從而可表示出△PAB的面積，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其取得最大值時P點的坐標．
【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數(shù)的性質(zhì)(增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小)，還要掌握相似三角形的性質(zhì)(對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．