Question

【題目】如圖，拋物線交x軸于點和點B，交y軸于點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線上找出點P，使，求點P的坐標(biāo)；

（3）將直線AC沿x軸的正方向平移，平移后的直線交y軸于點M，交拋物線于點N．當(dāng)四邊形ACMN為等腰梯形時，求點M、N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在M（0，）、N（，－）使四邊形ACMN為等腰梯形.

【解析】

（1）根據(jù)拋物線交x軸于點和點B，交y軸于點．用待定系數(shù)法直接求出即可；
（2）過P作，垂足為H，PO＝OC，，則CH＝OH 令，解方程即可求出點P的橫坐標(biāo)，即可求解.
（3）連接NA并延長交OC于G，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得到GA＝GC，設(shè)GA＝x，則GC＝x，OG＝3－x在Rt△OGA中，根據(jù)勾股定理OA 2＋OG 2＝AG 2，列出方程，解得x＝

∴OG＝3－x＝，求出 直線AG的解析式，聯(lián)立方程，即可求出點N的坐標(biāo).進而求出點M的坐標(biāo).

（1）∵拋物線 過點A（1，0）、C（0，3）

∴

解得

∴拋物線的解析式為

（2）過P作，垂足為H

∵PO＝OC，

∴CH＝OH

∴ …

∴

.

（3）連接NA并延長交OC于G

∵四邊形ACMN為等腰梯形，且AC∥MN

∴∠ANM＝∠CMN，∠ANM＝∠GAC，∠GCA＝∠CMN

∴∠GAC＝∠GCA，∴GA＝GC

設(shè)GA＝x，則GC＝x，OG＝3－x

在Rt△OGA中，OA 2＋OG 2＝AG 2

∴1 2＋( 3－x )2＝x 2，解得x＝

∴OG＝3－x＝ ，∴G（0，）

易得直線AG的解析式為y＝－ x＋

令－ x＋ ＝x 2－4x＋3，解得x1＝1（舍去），x2＝

∴N

∴CM＝AN＝

∴OM＝OC＋CM＝3＋ ＝

∴M（0，）

∴存在M（0，）、N使四邊形ACMN為等腰梯形