Question

【題目】已知：如圖(1)，直線AB∥CD，EF分別交AB、CD于E、F兩點(diǎn)，∠BEF、∠DFE的平分線相交于點(diǎn)K．（1）求∠EKF的度數(shù)．（計(jì)算過程不準(zhǔn)用三角形內(nèi)角和）（2）如圖(2)，∠BEK、∠DFK的平分線相交于點(diǎn)K1，問∠K1與∠K的度數(shù)是否存在某種特定的等量關(guān)系？寫出結(jié)論并證明．（3）在圖2中作∠BEK1、∠DFK1的平分線相交于點(diǎn)K2，作∠BEK2、∠DFK2的平分線相交于點(diǎn)K3，依此類推，作∠BEKn、∠DFKn的平分線相交于點(diǎn)Kn+1，請用含的n式子表示∠Kn+1的度數(shù)．（直接寫出答案，不必寫解答過程）

Answer 1

【答案】（1）∠EKF=90°；（2）∠K=2∠K1理由見解析；（3）歸納總結(jié)得：∠Kn+1= ×90°．

【解析】試題分析：（1）過K作KG∥AB，可得KG∥CD，可得出兩對內(nèi)錯角相等，由EK與FK分別為角平平分線，利用角平分線定義得到兩對角相等，再由AB與CD平行，利用兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)得到兩對角互補(bǔ)，利用等式的性質(zhì)求出∠BKE+∠DFK的度數(shù)，即可求出∠EKF的度數(shù)；（2）∠K=2∠K1，由∠BEK、∠DFK的平分線相交于點(diǎn)K1，利用角平分線定義得到兩對角相等，等量代換求出∠K1，進(jìn)而確定出兩角的關(guān)系；（3）依此類推即可確定出∠Kn+1的度數(shù)；

試題解析：

（1）過K作KG∥AB，可得KG∥CD，如圖所示：

∴∠BEK=∠EKG，∠GKF=∠KFD，

∵EK、FK分別為∠BEF與∠EFD的平分線，

∴∠BEK=∠FEK，∠EFK=∠DFK，

∵AB∥CD，

∴∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK=180°，即2（∠BEK+∠DFK）=180°，

∴∠BEK+∠DFK=90°，則∠EKF=∠EKG+∠GKF=90°；

（2）∠K=2∠K1，理由為：

∵∠BEK、∠DFK的平分線相交于點(diǎn)K1，

∴∠BEK1=∠KEK1，∠KFK1=∠DFK1，

∵∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK=180°，即2（∠BEK+∠KFD）=180°，

∴∠BEK+∠KFD=90°，即∠KEK1+∠KFK1=45°，

∴∠K1=180°-（∠KEF+∠EFK）-（∠KEK1+∠KFK1）=45°，則∠K=2∠K1；

（3）歸納總結(jié)得：∠Kn+1= ×90°。