Question

如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E、F分別是OA、OB的中點(diǎn)．
（1）求證：△ADE≌△BCF；
（2）若AD=4cm，AB=8cm，求CF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)矩形的對(duì)邊相等、對(duì)角線相等且相互平分等性質(zhì)可證△ADE≌△BCF；
（2）要求CF的長(zhǎng)，若CF在一直角三角形中，則可用勾股定理求解．由此需要添加輔助線，過點(diǎn)F作FG⊥CD于點(diǎn)G，則△DFG∽△DBC；由（1）的結(jié)論可得DF=3FB，則可算出FG、DG的值，進(jìn)而求得CF的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形
∴AD=BC，OA=OC，OB=OD，AC=BD，AD∥BC
∴OA=OB=OC，∠DAE=∠OCB（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
∴∠OCB=∠OBC
∴∠DAE=∠CBF
又∵AE=

1

2

OA，BF=

1

2

OB
∴AE=BF
∴△ADE≌△BCF；

（2）解：過點(diǎn)F作FG⊥CD于點(diǎn)G，
∴∠DGF=90°
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠DCB=90°
∴∠DGF=∠DCB
又∵∠FDG=∠BDC
∴△DFG∽△DBC
∴

FG

BC

=

DF

DB

=

DG

DC

由（1）可知F為OB的中點(diǎn)，
所以DF=3FB，得

DF

DB

=

3

4

∴

FG

4

=

3

4

=

DG

8

∴FG=3，DG=6
∴GC=DC-DG=8-6=2
在Rt△FGC中，CF=

FG2+GC2

=

9+4

=

13

cm．
（說明：其他解法可參照給分，如延長(zhǎng)CF交AB于點(diǎn)H，利用△DFC∽△BFH計(jì)算．）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形、相似三角形的判定以及用勾股定理解直角三角形等，較為復(fù)雜．