Question

已知拋物線y＝ax²＋bx＋c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，線段OB．OC的長（OB<OC）是方程x²－10x＋16＝0的兩個根，且拋物線的對稱軸是直線x＝－2．
【小題1】求A、B、C三點的坐標；
【小題2】求此拋物線的表達式
【小題3】連接AC、BC，若點E是線段AB上的一個動點（與點A．點B不重合），過點E作EF∥AC交BC于點F，連接CE，設AE的長為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍；
【小題4】在（3）的基礎上試說明S是否存在最大值，若存在，請求出S的最大值，并求出此時點E的坐標，判斷此時△BCE的形狀；若不存在，請說明理由

Answer 1

p;【答案】
【小題1】解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8　………………………………1分
∵點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，且OB＜OC
∴點B的坐標為（2，0），點C的坐標為（0，8）
又∵拋物線y＝ax2＋bx＋c的對稱軸是直線x＝－2
∴由拋物線的對稱性可得點A的坐標為（－6，0）　…………………………………2分
【小題2】∵點C（0，8）在拋物線y＝ax2＋bx＋c的圖象上
∴c＝8，將A（－6，0）、B（2，0）代入表達式，得
　解得   
∴所求拋物線的表達式為y＝－x2－x＋8　　………………………………………5分
【小題3】依題意，AE＝m，則BE＝8－m，
∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10
∵EF∥AC　∴△BEF∽△BAC
∴＝　　即＝
∴EF＝…………………………………………6分 
過點F作FG⊥AB，垂足為G，則sin∠FEG＝sin∠CAB＝
∴＝　∴FG＝·＝8－m
∴S＝S△BCE－S△BFE＝（8－m）×8－（8－m）（8－m）
＝（8－m）（8－8＋m）＝（8－m）m＝－m2＋4m　……………………………8分
自變量m的取值范圍是0＜m＜8　　…………………9分
【小題4】存在．
理由：∵S＝－m2＋4m＝－（m－4）2＋8　　且－＜0，
∴當m＝4時，S有最大值，S最大值＝8　　………………………………10分
∵m＝4，∴點E的坐標為（－2，0）
∴△BCE為等腰三角形．　　……………………………………………12分
解析:
p;【解析】略