Question

如圖，將圓形紙片沿弦AB折疊后，圓弧恰好能經(jīng)過圓心O，⊙O的切線BC與AO延長線交于點(diǎn)C．

（1）若⊙O半徑為6cm，用扇形OAB圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，求這個(gè)圓錐的底面圓半徑．

（2）求證：AB=BC．

Answer 1

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；圓錐的計(jì)算；翻折變換（折疊問題）．

【分析】（1）過O作OD⊥AB于E，交⊙O于D，根據(jù)題意OE=OA，得出∠OAE=30°，∠AOE=60°，從而求得∠AOB=2∠AOE=120°，根據(jù)弧長公式求得弧AB的長，然后根據(jù)圓錐的底面周長等于弧長得出2πr=4π，即可求得這個(gè)圓錐的底面圓半徑；

（2）連接OB，根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠OBC=90°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠C=30°，從而得出∠BAC=∠C，根據(jù)等角對(duì)等邊即可證得結(jié)論．

【解答】解：（1）設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，

過O作OD⊥AB于E，交⊙O于D，連接OB，

有折疊可得 OE=OD，

∵OD=OA，

∴OE=OA，

∴在Rt△AOE中∠OAE=30°，則∠AOE=60°，

∵OD⊥AB，

∴∠AOB=2∠AOE=120°，

∴弧AB的長為： =4π，

∴2πr=4π，

∴r=2；

（2）∵∠AOB=120°，

∴∠BOC=60°，

∵BC是⊙O的切線，

∴∠CBO=90°

∴∠C=30°，

∴∠OAE=∠C，

∴AB=BC．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊的性質(zhì)，垂徑定理，弧長的計(jì)算，切線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定和性質(zhì)，找出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．