Question

【題目】已知AB是⊙O的直徑，C是圓周上的動點，P是優(yōu)弧中點.
（1）求證：OP∥BC.
（2）連接PC交直徑AB于點D，當OC=DC時，求∠A的度數.

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AC，延長PO交AC于H，如圖1，

∵P是優(yōu)弧的中點，
∴PH⊥AC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∴OP∥BC.
（2）解：連接AC，延長PO交AC于H，如圖2，

∵P是優(yōu)弧的中點，
∴PA=PC，
∴∠PAC=∠PCA，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠PAO=PCO，
當CO=CD時，設∠DCO=x，
則∠OPC=x，∠PAO=x，
∴∠PDO=2x，
∴∠ODC=∠POD+∠OPC=3x，
∵CD=CO，
∴∠DOC=∠ODC=3x.
在△POC中，x+x+5x=180°，
∴x=，
即∠PAO=，
∴∠A的度數為
【解析】（1）連接AC，延長PO交AC于H，由垂徑定理推論得PH⊥AC，再由圓周角定理得BC⊥AC，根據垂直于同一條直線的兩條直線平行即可得證.
（2）連接AC，延長PO交AC于H，如圖2，由垂徑定理推論得PA=PC， 根據等腰三角形的性質得∠PAC=∠PCA，∠OAC=∠OCA，等量代換得
∠PAO=PCO；當CO=CD時，設∠DCO=x，則∠OPC=x，∠PAO=x，由三角形的外角和性質得 ∠ODC=3x，在△POC中，再根據三角形的內角和定理得出
x+x+5x=180°，從而求出∠A的度數 .
【考點精析】本題主要考查了三角形的內角和外角和三角形的外角的相關知識點，需要掌握三角形的三個內角中，只可能有一個內角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角；三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫三角形的外角；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角才能正確解答此題．