Question

已知直角三角形的一直角邊長是4，以這個(gè)直角三角形的三邊為直徑作三個(gè)半圓（如圖所示），已知兩個(gè)月牙形（帶斜線的陰影圖形）的面積之和是10，那么以下四個(gè)整數(shù)中，最接近圖中兩個(gè)弓形（帶點(diǎn)的陰影圖形）面積之和的是（ ）

A．6
B．7
C．8
D．9

Answer 1

【答案】分析：如圖，AC=4，S₁+S₂=10，設(shè)BC=a，利用圓的面積公式得到S₁+S₂+S₃+S₄=π×2²+π×a²=2π+a²，于是有S₃+S₄=2π+a²-10①，再用以AB為直徑的半圓減去三角形ABC的面積得到S₃+S₄，即S₃+S₄=π×-×4a=a²+2π-2a②，有①-②得到a的方程，求出a，然后代入①即可得到兩個(gè)弓形（帶點(diǎn)的陰影圖形）面積之和．
解答：解：如圖，
AC=4，S₁+S₂=10，設(shè)BC=a，
∴S₁+S₂+S₃+S₄=π×2²+π×a²=2π+a²，
∴S₃+S₄=2π+a²-10①，
又∵AB²=4²+a²=16+a²，
∴S₃+S₄=π×-×4a=a²+2π-2a②，
①-②得，2π+a²-10=a²+2π-2a，解得a=5，
∴S₃+S₄=2π+a²-10=2π+×25-10≈6.1，
即最接近圖中兩個(gè)弓形（帶點(diǎn)的陰影圖形）面積之和的是6．
故選A．
點(diǎn)評：本題考查了圓的面積公式：S=πR²．也考查了不規(guī)則圖形的面積的求法，即轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何圖形的面積的和或差來解決．