Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交BC、AC于點D、E，連接EB交OD于點F．
（1）求證：OD⊥BE；
（2）若DE=

5

2

，AB=

5

2

，求AE的長．

Answer 1

分析：（1）連接AD．根據(jù)直徑所對的圓周角是直角、等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)即可證明；
（2）設(shè)AE=x．根據(jù)圓周角定理的推論和勾股定理進行求解．

解答：證明：（1）連接AD．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=∠AEB=90°，
∵AB=AC，
∴DC=DB．
∵OA=OB，
∴OD∥AC．
∴∠OFB=∠AEB=90°，
∴OD⊥BE．

解：（2）設(shè)AE=x，
∵OD⊥BE，
∴可得OD是BE的中垂線，
∴DE=DB，
∴∠1=∠2，
∴BD=ED=

5

2

，
∵OD⊥EB，
∴FE=FB．
∴OF=

1

2

AE=

1

2

x，DF=OD-OF=

5

4

-

1

2

x．
在Rt△DFB中，BF2=DB2-DF2=(

5

2

)2-(

5

4

-

1

2

x)2；
在Rt△OFB中，BF2=OB2-OF2=(

5

4

)2-(

1

2

x)2；
∴(

5

2

)2-(

5

4

-

1

2

x)2=(

5

4

)2-(

1

2

x)2．
解得x=

3

2

，即AE=

3

2

．

點評：此題綜合運用了圓周角定理的推理、勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)．