Question

一只螞蟻在立方體的表面積爬行．
（Ⅰ）如圖1，當螞蟻從正方體的一個頂點A沿表面爬行到頂點B，怎樣爬行路線最短？說出你的理由．
（Ⅱ）如圖1，如果螞蟻要從邊長為1cm的正方體的頂點A沿最短路線爬行到頂點C，那么爬行的最短距離d的長度應是下面選項中的
（A）1cm＜l＜3cm　 （B）2cm　　　 （C）3cm
這樣的最短路徑有________條．
（Ⅲ）如果將正方體換成長AD=2cm，寬DF=2cm，高AB=1.5cm的長方體（如圖2所示），螞蟻仍需從頂點A沿表面爬行到頂點E的位置，請你說明這只螞蟻沿怎樣路線爬行距離最短？為什么？（可通過畫圖測量來說明）

Answer 1

6
分析：（I）根據線段的性質：兩點之間線段最短，求出即可；
（II）根據圖形可得出最短路徑為，進而得出答案即可；
（Ⅲ）將立方體采用兩種不同的展開方式得出最短路徑即可．
解答：解：（I）如圖1所示，沿線段AB爬行即可，根據兩點之間線段最短；
（II）如圖2所示：1cm＜l＜3cm，
故選A，
路線有6條，如圖2所示：

（III）螞蟻爬行的最短路線是沿面AF和面FC展開后所連接的線段AE，
原因：如圖①和圖②所示作圖，分別連接AE，并分別在兩圖中測量AE的長，可得圖②中的AE較短．
也可利用勾股定理得出：圖①中AE=cm，圖②中AE=cm．

點評：本題考查了勾股定理的拓展應用．“化曲面為平面”是解決“怎樣爬行最近”這類問題的關鍵．