Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是平行四邊形，，若，的長(zhǎng)是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根，且.

（1）直接寫(xiě)出：______，______；

（2）若點(diǎn)為軸正半軸上的點(diǎn)，且；

①求經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)的直線(xiàn)解析式；

②求證：.

（3）若點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，則在直線(xiàn)上是否存在點(diǎn)，使以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）4，3；（2）①；，②證明見(jiàn)解析；（3）；；；.

【解析】

（1）解一元二次方程求出OA，OB的長(zhǎng)度即可；

（2）先根據(jù)三角形的面積求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等的性質(zhì)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求解直線(xiàn)的解析式；分別求出兩三角形夾直角的兩對(duì)應(yīng)邊的比，如果相等，則兩三角形相似，否則不相似；

（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)，分AC與AF是鄰邊并且點(diǎn)F在射線(xiàn)AB上與射線(xiàn)BA上兩種情況，以及AC與AF分別是對(duì)角線(xiàn)的情況分別進(jìn)行求解計(jì)算．

（1）方程，

分解因式得：，

可得：，，

解得：，，

∵，

∴，；

故答案為4，3；

（2）①根據(jù)題意，設(shè)，則，

解得：，

∴，

∵四邊形是平行四邊形，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)是，

設(shè)經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)的直線(xiàn)的解析式為，

則，

解得：，

∴解析式為；

②如圖，

在與中，，，

∴，

又∵，

∴；

（3）根據(jù)計(jì)算的數(shù)據(jù)，，

∵，

∴平分，

分四種情況考慮：

①、是鄰邊，點(diǎn)在射線(xiàn)上時(shí)，，

∴點(diǎn)與重合，即；

②、是鄰邊，點(diǎn)在射線(xiàn)上時(shí)，應(yīng)在直線(xiàn)上，且垂直平分，

此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為；

③是對(duì)角線(xiàn)時(shí)，做垂直平分線(xiàn)，解析式為，直線(xiàn)過(guò)，且值為（平面內(nèi)互相垂直的兩條直線(xiàn)值乘積為-1），

∴解析式為，

聯(lián)立直線(xiàn)與直線(xiàn)，得：，

解得：，，

∴；

④是對(duì)角線(xiàn)時(shí)，過(guò)作垂線(xiàn)，垂足為，

∵，

∴，

在中，，，

根據(jù)勾股定理得，即，

做關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，記為，，

過(guò)做軸垂線(xiàn)，垂足為，，

∴，

綜上所述，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)有四個(gè)：；；；.