Question

如圖，在△ABC中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一邊QP在BC邊上，E、F兩點(diǎn)分別在AB、AC上，AD交EF于點(diǎn)H．
（1）求證：

AH

AD

=

EF

BC

；
（2）設(shè)EF=x，矩形EFPQ的面積為y，求y與x函數(shù)關(guān)系式，并求y的最大值；
（3）當(dāng)矩形EFPQ的面積最大時(shí)，該矩形EFPQ以每秒1個(gè)單位的速度沿射線QC勻速運(yùn)動(dòng)（當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S，請(qǐng)直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）可以證明△AEF∽△ABC，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比相等即可證得；
（2）根據(jù)矩形的面積公式，可以把面積表示成關(guān)于EF的長(zhǎng)的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
（3）分0≤t＜4，4≤t＜5，5≤t≤9三種情況進(jìn)行討論，分別求得函數(shù)的解析式．

解答：證明：（1）∵在矩形EFPQ中，EF∥PQ．（1分）
∴△AEF∽△ABC．（2分）
又∵AD⊥BC，
∴AH⊥EF．（3分）
∴

AH

AD

=

EF

BC

．（4分）

（2）由（1）得

AH

AD

=

EF

BC

，
∵BC=10，AD=8，EF=x，
∴

AH

8

=

x

10

．
∴AH=

4

5

x．（5分）
∴EQ=HD=AD-AH=8-

4

5

x．（6分）
∴y=EF×EQ=x（8-

4

5

x）=-

4

5

x2+8x=-

4

5

(x-5)2+20．（8分）
∵a=-

4

5

＜0，
∴當(dāng)x=5時(shí)，y的最大值為20．（9分）

（3）S=

- 1 2 t2+20  (0≤t＜4). -4t+28    (4≤t＜5). 1 2 (9-t)2    (5≤t≤9).

（12分）
附：第（3）小題詳解：由（2）得EF=5，EQ=4．
∵∠C=45°，
∴△PFC為等腰直角三角形．
∴PC=FP=EQ=4，QC=QP+PC=9．
分三種情況討論：
1如圖1，當(dāng)0≤t＜4時(shí)，設(shè)EF、PF分別交AC于點(diǎn)M、N，
則△MFN為等腰直角三角形．
∴FN=MF=t．
∴S=S矩形EFPQ-S△MFN=20-

1

2

t2=-

1

2

t2+20；

②如圖2，4≤t＜5時(shí)，則ME=5-t，QC=9-t，
∴S=S梯形EMCQ=

1

2

[(5-t)+(9-t)]×4=-4t+28；
③如圖3，5≤t≤9時(shí)，設(shè)EQ與AC交于點(diǎn)K，
則KQ=QC=9-t．
∴S=S△KQC=

1

2

(9-t)2．
綜上所述，S與t的函數(shù)關(guān)系式為：
S=

- 1 2 t2+20  (0≤t＜4). -4t+28    (4≤t＜5). 1 2 (9-t)2    (5≤t≤9).

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與二次函數(shù)的應(yīng)用，分情況進(jìn)行討論是關(guān)鍵．