Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，CD與⊙O相切于點D，CE⊥AD，交AD的延長線于點E．

（1）求證：∠BDC=∠A；
（2）若CE=2 ，DE=2，求AD的長，
（3）在（2）的條件下，求弧BD的長。

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接OD，

∵CD是⊙O切線，
∴∠ODC=90°，
即∠ODB+∠BDC=90°，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
即∠ODB+∠ADO=90°，
∴∠BDC=∠ADO，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠A，
∴∠BDC=∠A.

（2）

解：（2）∵CE⊥AE，
∴∠E=∠ADB=90°，
∴DB∥EC，
∴∠DCE=∠BDC，
∵∠BDC=∠A，
∴∠A=∠DCE，
在Rt△CDE中，CE=2，DE=2，

則tan∠DCE=，

∴∠DCE=30°，

∴∠A=∠DCE=30°，

在Rt△ACE中，AE==2=6,
∴AD=AE-DE=4．

（3）

解：在Rt△ABD中，∠A=30°，AB=×AD=，則OB=AB=.

由（1）得∠BOD=2∠A=60°，

則弧BD的長為=.

【解析】（1）連接OD，由“切線的性質(zhì)”和“直徑所對的圓周角為直角”可證明得；
（2）可先證∠A=∠DCE，由tan∠DCE=，可解得∠DCE的度數(shù)，從而可得∠A的度數(shù)為30°，即可求出AE；
（3）求出圓心角∠BOD的度數(shù)，和半徑OB，即可求得.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用圓周角定理和切線的性質(zhì)定理的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．