Question

（2012•江寧區(qū)一模）如圖，四邊形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為F，DE與AB相交于點(diǎn)E，AB=15cm，BC=9cm，
（1）點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)嗎？為什么？
（2）若P是射線DE上的動(dòng)點(diǎn)．設(shè)DP=x cm（x＞0），四邊形BCDP的面積為y cm²．
①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)x為何值時(shí)，△PBC的周長(zhǎng)最小，并求出此時(shí)四邊形BCDP的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出AF=CF，根據(jù)DE∥BC，推出AE=BE，即可得出答案；
（2）①根據(jù)勾股定理求出AC，求出CF的長(zhǎng)，得出四邊形BCDP是梯形，根據(jù)梯形的面積公式得出即可；②求出CP+BP最小時(shí)，△BCP的周長(zhǎng)最小，根據(jù)對(duì)稱得出當(dāng)P到E時(shí)，△PBC的周長(zhǎng)最小，證△DAE∽△ACB，得出比例式，求出DE的值即可．

解答：解：（1）點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，
理由是：∵AD=DC，DF⊥AC，
∴AF=CF，
∵DF⊥AC，∠ACB=90°，
∴EF∥BC，
∵AF=CF，
∴AE=BE，
即點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)．

（2）①在Rt△ACB中，AB=15，BC=9，由勾股定理得：AC=

AB2-BC2

=12（cm），
即AF=CF=6cm，
∵DF∥BC，
∴梯形BCDP的面積y=

1

2

（x+9）×6=3x+27，
即y=3x+27（x＞0）．

②△PBC的周長(zhǎng)是BC+CP+PB=9cm+CP+BP，
要使△PBC的周長(zhǎng)最小，只要CP+BP最小即可，
∵CF=AF，DE⊥AC，
∴C、A關(guān)于DF對(duì)稱，
即當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E時(shí)，CP+BP最小，此時(shí)△PBC的周長(zhǎng)最小，
求得AE=BE=

1

2

AB=

15

2

cm，
∵DE∥BC，
∴∠DEA=∠CBA，
∵∠DAE=∠ACB=90°，
∴△DAE∽△ACB，
∴

AE

BC

=

DE

AB

，
∴

15 2

9

=

DE

15

，
解得：DE=

25

2

（cm），
∴當(dāng)x=

25

2

時(shí)，△PBC的周長(zhǎng)最小，
∵CF是梯形BCDE的兩底之間的高，
∴此時(shí)四邊形BCDP（即梯形BCDE）的面積是：

1

2

×（

25

2

+9）×6=

129

2

（cm²）．
答：當(dāng)x=

25

2

時(shí)，△PBC的周長(zhǎng)最小，此時(shí)四邊形BCDP的面積是

129

2

cm²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，通過(guò)做此題培養(yǎng)了學(xué)生的推理能力和計(jì)算能力，題型比較好，綜合性也比較強(qiáng)．