Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，過(guò)點(diǎn)O作OM∥BC，交AC于點(diǎn)M．

（1）求∠AMO；

（2）延長(zhǎng)OM交⊙O于點(diǎn)E，過(guò)E作⊙O的切線，交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接FM，并延長(zhǎng)FM交AB于點(diǎn)G．

①試判斷四邊形CFEM的形狀，并說(shuō)明理由；

②若AG=2，CM=3，求四邊形CFEM的面積．

　

Answer 1

【考點(diǎn)】圓的綜合題．

【分析】（1）根據(jù)兩直線平行同位角相等即可解決問(wèn)題．

（2）①先證明四邊形CFEM是平行四邊形，再證明有一個(gè)角為90°即可．

②連接AE，只要證明OG=OM，即可得到EM=AG，即可解決問(wèn)題．

【解答】解：（1）∵AB為直徑，

∴∠BCA=90°，

∵OM∥BC，

∴∠AMO=∠BCA=90°．

（2）①四邊形CMEF為矩形，理由如下：

∵EF與⊙O相切于點(diǎn)E，

∴∠OEF=90°，

∵∠OMA=∠OMC=∠OEF=90°，

∴EF∥MC，

∵OM∥BC，

∴EM∥FC，

∴四邊形CMEF為平行四邊形，

∵∠OEF=90°，

∴四邊形CMEF為矩形．

②解：連接AE，

∵O為AB的中點(diǎn)，OM∥BC

∴M為AC的中點(diǎn)，即有CM=AM，

∵四邊形CMEF是矩形，

∴AM=CM=EF，

又∵AC∥EF，

∴AMFE為平行四邊形，

∴FM∥AE，即GM∥AE，

∴∠OMG=∠OEA，∠OGM=∠OAE

∵OE=OA

∴∠OEA=∠OAE，

∴∠OMG=∠OGM，

∴OM=OG

∵OE=OM+ME=OA=OG+GA，

∴ME=GA=2，

∴矩形CMEF的面積為：CM×ME=3×2=6．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的有關(guān)知識(shí)、等腰三角形的判定好性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是平行四邊形AEFM的發(fā)現(xiàn)，需要靈活應(yīng)用這些知識(shí)，屬于中考�？碱}型．