Question

正方形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥CD于點(diǎn)F．如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，顯然有DF=CF．
（1）如圖2，若點(diǎn)P在線段AO上（不與點(diǎn)A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于點(diǎn)E．
①求證：DF=EF；
②寫(xiě)出線段PC、PA、CE之間的一個(gè)等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）若點(diǎn)P在線段OC上（不與點(diǎn)O、C重合），PE⊥PB且PE交直線CD于點(diǎn)E．請(qǐng)完成圖3并判斷（1）中的結(jié)論①、②是否分別成立？若不成立，寫(xiě)出相應(yīng)的結(jié)論．（所寫(xiě)結(jié)論均不必證明）

Answer 1

分析：（1）由正方形的性質(zhì)證得△BQP≌△PFE，從而得到DF=EF，由于△PCF和△PAG均為等腰直角三角形，故有PA=

2

PG，PC=

2

CF，易得PA=

2

EF，進(jìn)而得到PC、PA、CE滿(mǎn)足關(guān)系為：PC=

2

CE+PA；
（2）同（1）證得DF=EF，三條線段的數(shù)量關(guān)系是PA-PC=

2

CE．

解答：解：（1）如圖2，延長(zhǎng)FP交AB于點(diǎn)Q，
①∵AC是正方形ABCD對(duì)角線，
∴∠QAP=∠APQ=45°，
∴AQ=PQ，
∵AB=QF，
∴BQ=PF，
∵PE⊥PB，
∴∠QPB+∠FPE=90°，
∵∠QBP+∠QPB=90°，
∴∠QBP=∠FPE，
∵∠BQP=∠PFE=90°，
∴△BQP≌△PFE，
∴QP=EF，
∵AQ=DF，
∴DF=EF；
②如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥AD．
∵PF⊥CD，∠PCF=∠PAG=45°，
∴△PCF和△PAG均為等腰直角三角形，
∵四邊形DFPG為矩形，
∴PA=

2

PG，PC=

2

CF，
∵PG=DF，DF=EF，
∴PA=

2

EF，
∴PC=

2

CF=

2

（CE+EF）=

2

CE+

2

EF=

2

CE+PA，
即PC、PA、CE滿(mǎn)足關(guān)系為：PC=

2

CE+PA；

（2）結(jié)論①仍成立；結(jié)論②不成立，此時(shí)②中三條線段的數(shù)量關(guān)系是PA-PC=

2

CE．
如圖3：
①∵PB⊥PE，BC⊥CE，
∴B、P、C、E四點(diǎn)共圓，
∴∠PEC=∠PBC，
在△PBC和△PDC中有：BC=DC（已知），∠PCB=∠PCD=45°（已證），PC邊公共邊，
∴△PBC≌△PDC（SAS），
∴∠PBC=∠PDC，
∴∠PEC=∠PDC，
∵PF⊥DE，
∴DF=EF；
②同理：PA=

2

PG=

2

DF=

2

EF，PC=

2

CF，
∴PA=

2

EF=

2

（CE+CF）=

2

CE+

2

CF=

2

CE+PC
即PC、PA、CE滿(mǎn)足關(guān)系為：PA-PC=

2

CE．

點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)動(dòng)態(tài)幾何題，考查用正方形性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形相似的條件和性質(zhì)進(jìn)行有條理的思考和表達(dá)能力，還考查按要求畫(huà)圖能力．