Question

(2006安徽，23)(13分)取一副三角板按圖①拼接，固定三角板ADC，將三板ABC繞點(diǎn)A依順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)大小為α的角(0°＜α≤45°)得到△，如圖所示．

試問：(1)當(dāng)α為多少度時(shí)，能使得圖②中AB∥DC？

(2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)到圖③位置，此時(shí)α又為多少度？圖③中你能找出哪幾對(duì)相似三角形，并求其中一對(duì)的相似比；

圖③

(3)連結(jié)BD，當(dāng)0°＜α≤45°時(shí)，探尋∠值的大小變化情況，并給出你的證明．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)如圖②，由題意∠，要使AB∥DC，須∠BAC=∠ACD，∴∠BAC=30°．45°－30°=15°即α=15°時(shí)，能使得AB∥DC．(4分) 圖② (2)易得α=45°時(shí)，可得圖③，此時(shí)，若記DC與、分別交于點(diǎn)E、F． 圖③ 則共有兩對(duì)相似三角形：ΔBFC∽ΔADC，Δ∽ΔADE．(6分) 下求ΔBFC與ΔADC的相似比： 在圖③中，設(shè)AB=a，則易得AC=．則．(8分) 注：Δ與ΔADE的相似比為：． (3)解法一： 當(dāng)0°＜α≤45°時(shí)，總有Δ存在． ∵，又=180°，∴=180°．(11分) 又∵=45°，∠C=30°，∴=105°．(13分)