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        1. 已知:∠MAN=60°,點B在射線AM上,AB=4(如圖).P為直線AN上一動點,以BP為邊作等邊三角形BPQ(點B,P,Q按順時針排列),O是△BPQ的外心.
          (1)當點P在射線AN上運動時,求證:點O在∠MAN的平分線上;
          (2)當點P在射線AN上運動(點P與點A不重合)時,AO與BP交于點C,設AP=x,AC•AO=y,求y關于x的函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域;
          (3)若點D在射線AN上,AD=2,圓I為△ABD的內切圓.當△BPQ的邊BP或BQ與圓I相切時,請直接寫出點A與點O的距離.

          【答案】分析:(1)證O在∠MAN的平分線上,可證O到角兩邊的距離相等,分兩種情況:
          ①OB不與AM垂直,過O作OT⊥AN,OH⊥AM,可通過構建全等三角形來求解.
          連接OB,OP,則OB=OP,只需證明△OHB與△OTP全等即可.
          這兩個三角形中,已知的條件有OB=OP,一組直角.只需再證得一組角對應相等即可,∠HOT和∠BOP都等于120°,因此∠BOH=∠TOP,則兩三角形全等,OT=OH.由此得證.
          ②當OB⊥AM時,由于OB=OP,只需證明OP⊥AN即可.
          由于∠BOP=120°,而∠ABO=90°,∠MAN=60°,根據四邊形的內角和為360°,即可求得OP⊥AN,由此可得證.
          (2)本題要通過相似三角形ACP和ABO來求解.
          這兩個三角形中,已知了∠BAO=∠CAP(在1題中已經證得).
          只需再找出一組對應角相等即可,在△ACP和△OBC中,∠CAP=∠OBC=30°,∠ACP=∠BCO,因此∠APC=∠AOB,由此證得兩三角形相似,可得出關于AB,AC,AO,AP的比例關系式,據此可求出y,x的函數(shù)關系式.
          (3)本題分三種情況:
          ①圓I在△BPQ外,且與BP邊相切,此時D、P重合,AD=AP=2,AB=4,∠MAN=60°,因此△ABP為直角三角形,不難得出△ABO也是直角三角形,因此可得出△ABO≌△APB,AO=BP=2;
          ②圓I在△BPQ內,與BP,PQ邊相切時,此時P與A重合,可在直角三角形ODA中,根據AD=2,∠DAO=30°,求得AO=;
          ③圓I在△BPQ內,與BQ邊相切時,A,O重合,因此AO=0.
          解答:(1)證明:如圖1,連接OB,OP.
          ∵O是等邊三角形BPQ的外心,
          ∴圓心角∠BOP==120°.
          當∠MAN=60°,不垂直于AM時,作OT⊥AN,則OB=OP.
          由∠HOT+∠A+∠AHO+∠ATO=360°,且∠A=60°,∠AHO=∠ATO=90°,
          ∴∠HOT=120度.
          ∴∠BOH=∠POT.
          ∴Rt△BOH≌Rt△POT.
          ∴OH=OT.
          ∴點O在∠MAN的平分線上.
          當OB⊥AM時,∠APO=360°-∠A-∠BOP-∠OBA=90°.
          即OP⊥AN,
          ∴點O在圓I的平分線上.
          綜上所述,當點P在射線AN上運動時,點O在∠MAN的平分線上.

          (2)解:如圖2,
          ∵AO平分∠MAN,且∠MAN=60°,
          ∴∠BAO=∠PAO=30°.
          由(1)知,OB=OP,∠BOP=120°,
          ∴∠CBO=30°,
          ∴∠CBO=∠PAC.
          ∵∠BCO=∠PCA,
          ∴∠AOB=∠APC.
          ∴△ABO∽△ACP.

          ∴AC•AO=AB•AP.
          ∴y=4x.
          定義域為:x>0.

          (3)解:①如圖3,當BP與圓I相切時,AO=2;
          ②如圖4,當BP與圓I相切時,AO=;
          ③如圖5,當BQ與圓I相切時,AO=0.
          點評:本題考查了相似三角形、全等三角形、角平分線定理、等邊三角形的性質、直線與圓的位置關系等知識點.本題考點較多,難度較大.
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          (3)如圖<3>,若以AP為弦(不是直徑)作⊙O2與AM切于A點,交AN于C2點,則AC2的長是多少?請說明理由.

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