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        1. 已知:∠MAN=60°,點(diǎn)B在射線AM上,AB=4(如圖).P為直線AN上一動(dòng)點(diǎn),以BP為邊作等邊三角形BPQ(點(diǎn)B,P,Q按順時(shí)針排列),O是△BPQ的外心.
          (1)當(dāng)點(diǎn)P在射線AN上運(yùn)動(dòng)時(shí),求證:點(diǎn)O在∠MAN的平分線上;
          (2)當(dāng)點(diǎn)P在射線AN上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合)時(shí),AO與BP交于點(diǎn)C,設(shè)AP=x,AC•AO=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域;
          (3)若點(diǎn)D在射線AN上,AD=2,圓I為△ABD的內(nèi)切圓.當(dāng)△BPQ的邊BP或BQ與圓I相切時(shí),請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A與點(diǎn)O的距離.

          【答案】分析:(1)證O在∠MAN的平分線上,可證O到角兩邊的距離相等,分兩種情況:
          ①OB不與AM垂直,過(guò)O作OT⊥AN,OH⊥AM,可通過(guò)構(gòu)建全等三角形來(lái)求解.
          連接OB,OP,則OB=OP,只需證明△OHB與△OTP全等即可.
          這兩個(gè)三角形中,已知的條件有OB=OP,一組直角.只需再證得一組角對(duì)應(yīng)相等即可,∠HOT和∠BOP都等于120°,因此∠BOH=∠TOP,則兩三角形全等,OT=OH.由此得證.
          ②當(dāng)OB⊥AM時(shí),由于OB=OP,只需證明OP⊥AN即可.
          由于∠BOP=120°,而∠ABO=90°,∠MAN=60°,根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°,即可求得OP⊥AN,由此可得證.
          (2)本題要通過(guò)相似三角形ACP和ABO來(lái)求解.
          這兩個(gè)三角形中,已知了∠BAO=∠CAP(在1題中已經(jīng)證得).
          只需再找出一組對(duì)應(yīng)角相等即可,在△ACP和△OBC中,∠CAP=∠OBC=30°,∠ACP=∠BCO,因此∠APC=∠AOB,由此證得兩三角形相似,可得出關(guān)于AB,AC,AO,AP的比例關(guān)系式,據(jù)此可求出y,x的函數(shù)關(guān)系式.
          (3)本題分三種情況:
          ①圓I在△BPQ外,且與BP邊相切,此時(shí)D、P重合,AD=AP=2,AB=4,∠MAN=60°,因此△ABP為直角三角形,不難得出△ABO也是直角三角形,因此可得出△ABO≌△APB,AO=BP=2
          ②圓I在△BPQ內(nèi),與BP,PQ邊相切時(shí),此時(shí)P與A重合,可在直角三角形ODA中,根據(jù)AD=2,∠DAO=30°,求得AO=;
          ③圓I在△BPQ內(nèi),與BQ邊相切時(shí),A,O重合,因此AO=0.
          解答:(1)證明:如圖1,連接OB,OP.
          ∵O是等邊三角形BPQ的外心,
          ∴圓心角∠BOP==120°.
          當(dāng)∠MAN=60°,不垂直于AM時(shí),作OT⊥AN,則OB=OP.
          由∠HOT+∠A+∠AHO+∠ATO=360°,且∠A=60°,∠AHO=∠ATO=90°,
          ∴∠HOT=120度.
          ∴∠BOH=∠POT.
          ∴Rt△BOH≌Rt△POT.
          ∴OH=OT.
          ∴點(diǎn)O在∠MAN的平分線上.
          當(dāng)OB⊥AM時(shí),∠APO=360°-∠A-∠BOP-∠OBA=90°.
          即OP⊥AN,
          ∴點(diǎn)O在圓I的平分線上.
          綜上所述,當(dāng)點(diǎn)P在射線AN上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)O在∠MAN的平分線上.

          (2)解:如圖2,
          ∵AO平分∠MAN,且∠MAN=60°,
          ∴∠BAO=∠PAO=30°.
          由(1)知,OB=OP,∠BOP=120°,
          ∴∠CBO=30°,
          ∴∠CBO=∠PAC.
          ∵∠BCO=∠PCA,
          ∴∠AOB=∠APC.
          ∴△ABO∽△ACP.

          ∴AC•AO=AB•AP.
          ∴y=4x.
          定義域?yàn)椋簒>0.

          (3)解:①如圖3,當(dāng)BP與圓I相切時(shí),AO=2;
          ②如圖4,當(dāng)BP與圓I相切時(shí),AO=;
          ③如圖5,當(dāng)BQ與圓I相切時(shí),AO=0.
          點(diǎn)評(píng):本題考查了相似三角形、全等三角形、角平分線定理、等邊三角形的性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn).本題考點(diǎn)較多,難度較大.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知:∠MAN=60°,點(diǎn)B在射線AM上,AB=4(如圖).P為直線AN上一動(dòng)點(diǎn),以BP為邊作等邊三角形BPQ(點(diǎn)B,P,Q按順時(shí)針排列),O是△BPQ的外心.
          (1)當(dāng)點(diǎn)P在射線AN上運(yùn)動(dòng)時(shí),求證:點(diǎn)O在∠MAN的平分線上;
          (2)當(dāng)點(diǎn)P在射線AN上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合)時(shí),AO與BP交于點(diǎn)C,設(shè)AP=x,AC•AO=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域;
          (3)若點(diǎn)D在射線AN上,AD=2,圓I為△ABD的內(nèi)切圓.當(dāng)△BPQ的邊BP或BQ與圓I相切時(shí),請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A與點(diǎn)O的距離.
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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          如圖,已知:∠MAN=60°,AP平分∠MAN,且AP=4.請(qǐng)?zhí)骄浚?br />精英家教網(wǎng)
          (1)如圖<1>,若以AP為直徑作⊙O,分別交AM、AN于B、C,求AB+AC的長(zhǎng);
          (2)如圖<2>,若以AP為弦(不是直徑),任作⊙O1分別交AM、AN于B1、C1點(diǎn),則AB1+AC1的長(zhǎng)是否不變?請(qǐng)說(shuō)明理由;
          (3)如圖<3>,若以AP為弦(不是直徑)作⊙O2與AM切于A點(diǎn),交AN于C2點(diǎn),則AC2的長(zhǎng)是多少?請(qǐng)說(shuō)明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

          如圖,已知:∠MAN=60°,AP平分∠MAN,且AP=4.請(qǐng)?zhí)骄浚?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201311/52868d96ee60d.png" style="vertical-align:middle" />
          (1)如圖<1>,若以AP為直徑作⊙O,分別交AM、AN于B、C,求AB+AC的長(zhǎng);
          (2)如圖<2>,若以AP為弦(不是直徑),任作⊙O1分別交AM、AN于B1、C1點(diǎn),則AB1+AC1的長(zhǎng)是否不變?請(qǐng)說(shuō)明理由;
          (3)如圖<3>,若以AP為弦(不是直徑)作⊙O2與AM切于A點(diǎn),交AN于C2點(diǎn),則AC2的長(zhǎng)是多少?請(qǐng)說(shuō)明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:上海中考真題 題型:解答題

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          (3)若點(diǎn)D在射線AN上,AD=2,圓I為△ABD的內(nèi)切圓.當(dāng)△BPQ的邊BP或BQ與圓I相切時(shí),請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A與點(diǎn)O的距離。

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:第35章《圓(二)》中考題集(04):35.2 直線與圓的位置關(guān)系(解析版) 題型:解答題

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          (3)若點(diǎn)D在射線AN上,AD=2,圓I為△ABD的內(nèi)切圓.當(dāng)△BPQ的邊BP或BQ與圓I相切時(shí),請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A與點(diǎn)O的距離.

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