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        1. 如圖,BC是⊙O的直徑,A是⊙O上一點,過點C作⊙O的切線,交BA的延長線于點D,取CD的中點E,AE的延長線與BC的延長線交于點P.

          (1)求證:AP是⊙O的切線;

          (2)OC=CP,AB=6,求CD的長.


          【考點】切線的判定與性質(zhì);解直角三角形.

          【分析】(1)連接AO,AC(如圖).欲證AP是⊙O的切線,只需證明OA⊥AP即可;

          (2)利用(1)中切線的性質(zhì)在Rt△OAP中利用邊角關系求得∠ACO=60°.然后在Rt△BAC、Rt△ACD中利用余弦三角函數(shù)的定義知AC=2,CD=4.

          【解答】(1)證明:連接AO,AC(如圖).

          ∵BC是⊙O的直徑,

          ∴∠BAC=∠CAD=90°.

          ∵E是CD的中點,

          ∴CE=DE=AE.

          ∴∠ECA=∠EAC.

          ∵OA=OC,

          ∴∠OAC=∠OCA.

          ∵CD是⊙O的切線,

          ∴CD⊥OC.

          ∴∠ECA+∠OCA=90°.

          ∴∠EAC+∠OAC=90°.

          ∴OA⊥AP.

          ∵A是⊙O上一點,

          ∴AP是⊙O的切線;

          (2)解:由(1)知OA⊥AP.

          在Rt△OAP中,∵∠OAP=90°,OC=CP=OA,即OP=2OA,

          ∴sinP==,

          ∴∠P=30°.

          ∴∠AOP=60°.

          ∵OC=OA,

          ∴∠ACO=60°.

          在Rt△BAC中,∵∠BAC=90°,AB=6,∠ACO=60°,

          ∴AC==2,

          又∵在Rt△ACD中,∠CAD=90°,∠ACD=90°﹣∠ACO=30°,

          ∴CD===4.

          【點評】本題考查了切線的判定與性質(zhì)、解直角三角形.注意,切線的定義的運用,解題的關鍵是熟記特殊角的銳角三角函數(shù)值.

           


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          A

          B

          成本(元)

          50

          35

          利潤(元)

          20

          15

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          游泳成績

          第一換項點所用時間

           自行車成績

           第二換項點所用時間

          長跑成績

           191

           1997

           75

           4927

           40

           3220

           194

           1503

           110

           5686

           57

           3652

           195

           1354

           74

           5351

           44

           3195

          (1)填空(精確到0.01):

          第191號運動員騎自行車的平均速度是   米/秒;

          第194號運動員騎自行車的平均速度是   米/秒;

          第195號運動員騎自行車的平均速度是   米/秒;

          (2)如果運動員騎自行車都是勻速的,那么在騎自行車的途中,191號運動員會追上195號或194號嗎?如果會,那么追上時離第一換項點有多少米(精確到0.01)?如果不會,為什么?

          (3)如果長跑也都是勻速的,那么在長跑途中這三名運動員中有可能某人追上某人嗎?為什么?

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          A.     B.     C.     D.

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