Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，A點(diǎn)坐標(biāo)為(－4，0)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，以AB的中點(diǎn)P為圓心，AB為直徑作⊙P與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C．

（1）求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）設(shè)M為（1）中拋物線的頂點(diǎn)，試說明直線MC與⊙P的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）在第二象限中是否存在的一點(diǎn)Q，使得以A，O，Q為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似．若存在，請求出所有滿足的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）相切，見解析；（3）存在，(-4,8)、(-4,2)、、

【解析】

(1)由A點(diǎn)坐標(biāo)和B點(diǎn)坐標(biāo),可以求出AB的長度,即圓的直徑可以求出,進(jìn)而得出圓的半徑長度,根據(jù)B點(diǎn)坐標(biāo),求出OP的長,再根據(jù)勾股定理求出C點(diǎn)坐標(biāo),設(shè)出二次函數(shù)交點(diǎn)式,將C點(diǎn)坐標(biāo)代入求解即可.

(2)直線與圓的位置關(guān)系無非是相切或不相切,可連接PC,證PC是否與MC垂直即可.本題可先求出直線MC與x軸的交點(diǎn)N的坐標(biāo),然后分別求出PN,PC,CN的長,用勾股定理逆定理進(jìn)行判斷.

(3)△OBC與△AOQ相似,△OBC與△AQO相似,△OBC與△QAO相似,△OBC與△QOA相似,四種情況討論根據(jù)三角形相似的性質(zhì)列出關(guān)系式求解即可.

y個

(1)連接PC,.

∵A(-4,0),B(1,0)

∴AB=5,

∵P是AB的中點(diǎn),且是的圓心

∴PC=PA=2.5,OP=4-2.5=1.5.

∴

∴C(0,-2).

設(shè)經(jīng)過A.B.C三點(diǎn)的拋物線為

.

拋物線為

(2)直線MC與相切.

將配方,得

∴頂點(diǎn)M為

設(shè)直線MC為y=kx+b,則有

解得

∴直線MC為

設(shè)MC與x軸交于點(diǎn)N,

在中,令y=0,得

∴MC與OP相切.

(3)當(dāng)△OBC與△AOQ相似,

OB:OC=AO:AQ,

即1:2=4:AQ,

解得AQ=8,

則Q點(diǎn)坐標(biāo)為(-4,8);

當(dāng)△OBC與△AQO相似,

OB:OC=AQ:AO,

即1:2=AQ:4,

解得AQ=2,

則Q點(diǎn)坐標(biāo)為(-4,2);

當(dāng)△OBC與△QAO相似,

OC:BC=QO:AO,

即,

解得,

則Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為

縱坐標(biāo)為.

則Q點(diǎn)坐標(biāo)為

當(dāng)△OBC與△QO4相似,

OB:BC=QO:AO,

即,

解得,

則Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為

縱坐標(biāo)為

則Q點(diǎn)坐標(biāo)為

綜上所述,使得以A,O,Q為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似,

所有滿足的Q點(diǎn)坐標(biāo)為：

(-4,8)、(-4,2)、、