Question

如圖，直線y=-

4

3

x+4與x軸交于點A，與y軸交于點C，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A、C和點B（-1，0）．
（1）求該二次函數(shù)的關系式；
（2）設該二次函數(shù)的圖象的頂點為M，求四邊形AOCM的面積；
（3）有兩動點D、E同時從點O出發(fā)，其中點D以每秒

3

2

個單位長度的速度沿折線OAC按O?A?C的路線運動，點E以每秒4個單位長度的速度沿折線OCA按O?C?A的路線運動，當D、E兩點相遇時，它們都停止運動．設D、E同時從點O出發(fā)t秒時，△ODE的面積為S，請求出S關于t的函數(shù)關系式，并寫出自變量t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意易得AC的坐標，結合B的坐標，將三點代入解析式方程，可得abc的值，進而可得解析式；
（2）將解析式化為頂點式，易得M的坐標，過點M作MF⊥x軸于F，將四邊形AOCM分割成三角形，分別求出其面積再求和可得四邊形AOCM的面積；
（3）根據(jù)題意得D，E兩點相遇的時間，根據(jù)題意分三種情況討論，依次分析可得答案．

解答：解：（1）令x=0，則y=4；
令y=0則x=3．
∴A（3，0），C（0，4）
∵二次函數(shù)的圖象過點C（0，4），
∴可設二次函數(shù)的關系式為y=ax²+bx+4
又∵該函數(shù)圖象過點A（3，0），B（-1，0），
∴

0=9a+3b+4 0=a-b+4

，
解得a=-

4

3

，b=

8

3

，
∴所求二次函數(shù)的關系式為y=-

4

3

x2+

8

3

x+4．（3分）

（2）∵y=-

4

3

x2+

8

3

x+4
=-

4

3

(x-1)2+

16

3

∴頂點M的坐標為(1，

16

3

)．（4分）
過點M作MF⊥x軸于F，
∴S_{四邊形AOCM}=S_△AFM+S_梯形FOCM=

1

2

×(3-1)×

16

3

+

1

2

×(4+

16

3

)×1=10，
∴四邊形AOCM的面積為10．（7分）

（3）根據(jù)題意得D，E兩點相遇的時間為

3+4+5

3 2 +4

=

24

11

（秒）現(xiàn)分情況討論如下：
�。┊�0＜t≤1秒時，S=

1

2

×

3

2

t•4t=3t2；（8分）
ⅱ）當1＜t≤2秒時，
∴S=

1

2

×

3

2

t×

36-16t

5

=-

12

5

t2+

27

5

t（10分）
ⅲ）當2＜t＜

24

11

秒時，
∴S=S_△AOE-S_△AOD=

1

2

×3×

36-16t

5

-

1

2

×3×

6t-12

5

=-

33

5

t+

72

5

．（12分）

點評：本題考查學生將二次函數(shù)的圖象與解析式相結合處理問題、解決問題的能力．