Question

已知△ABC的兩邊AB、AC的長(zhǎng)度是關(guān)于x的一元二次方程x²-（2k+2）x+k²+2k=0的兩個(gè)根，第三邊長(zhǎng)為10，問(wèn)k為何值時(shí)，△ABC是等腰三角形？并求出這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出可推出

AB+AC=2k+2 AB•AC=k2+2k

，分情況討論，①若AB=AC，通過(guò)解方程組推出1=0（不成立），所以AB≠AC；②若AB=BC=10，通過(guò)解方程組推出

k1=10 k2=8

，即可推出

AC1=12 AC2=8

，③AC=BC=10，然后根據(jù)所求的結(jié)果即可推出結(jié)論．

解答：解：∵△ABC的兩邊AB、AC的長(zhǎng)度是關(guān)于x的一元二次方程x²-（2k+2）x+k²+2k=0的兩個(gè)根，
則AB+AC=2k+2，AC×AB=k²+2k，
分為三種情況：
①若AB=AC時(shí)，則2AB=2k+2，AB²=k²+2k，
AB=k+1，
代入得：（k+1）²=k²+2k，
此方程無(wú)解，即AB≠AC；
②若AB=BC=10，則10+AC=2k+2，10AC=k²+2k，
即AC=2k+2-10，
代入得：10（2k+2-10）=k²+2k，
解得：k₁=10，k₂=8，
∴AC=12或8，
③若AC=BC=10時(shí)，與②同法求出k=10或8，
∴當(dāng)AC=12，AB=10，BC=10時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)=12+10+10=32，
∴當(dāng)AC=8，AB=10，BC=10時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)=10+10+8=28，
∴當(dāng)k=10或k=8時(shí)，△ABC為等腰三角形，△ABC的周長(zhǎng)為32或28．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解二元一次方程組，關(guān)鍵在于根據(jù)相關(guān)的性質(zhì)求出方程組

AB+AC=2k+2 AB•AC=k2+2k

，然后正確的分情況討論，認(rèn)真的進(jìn)行計(jì)算．