Question

【題目】如圖所示，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，﹣3）與C（0，﹣3），與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為B．

（1）求拋物線的解析式與點(diǎn)B坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)D在x軸上，使△ABD是等腰三角形，求所有滿足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在拋物線的對(duì)稱軸上，若以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，其中AB∥MN，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3，（﹣1，0）；（2）點(diǎn)D坐標(biāo)為，，（2，0），（5，0）；（3）M（4，5）或（﹣2，5）

【解析】

(1)將點(diǎn)A,C的坐標(biāo)代入求解即可.

(2) 作AM⊥x軸于M,分類討論當(dāng)BA=BD時(shí),點(diǎn)D在B的左側(cè)和點(diǎn)D在B的右側(cè),D點(diǎn)坐標(biāo);當(dāng)AD=BD時(shí),D點(diǎn)坐標(biāo);當(dāng)AB=AD時(shí),D點(diǎn)坐標(biāo).

(3)拋物線圖象得A、B,、N的坐標(biāo),結(jié)合圖象可得兩種可能情況,代入求值即可.

（1）∵拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，﹣3）與C（0，﹣3）

∴，

解得，

∴拋物線解析式為：y＝x2﹣2x﹣3，

當(dāng)y＝0時(shí)，解得x1＝3，x2＝﹣1

∵點(diǎn)B在x軸負(fù)方向，

∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（﹣1，0）；

（2）作AM⊥x軸于M，

∴點(diǎn)M（2，0），AM＝3，

∴AM＝BM＝3，

∴∠ABM＝45°

∴AB＝

當(dāng)BA＝BD時(shí)，若點(diǎn)D在B點(diǎn)左側(cè)，此時(shí)點(diǎn)D，

若點(diǎn)D在B點(diǎn)右側(cè)，此時(shí)點(diǎn)D，

當(dāng)AD＝BD時(shí)，顯然點(diǎn)D即為點(diǎn)M，坐標(biāo)（2，0），

當(dāng)AB＝AD時(shí)，DM＝BM＝3，此時(shí)點(diǎn)D（5，0），

綜上所述：點(diǎn)D坐標(biāo)為，，（2，0），（5，0）；

（3）拋物線解析式為：y＝x2﹣2x﹣3，

∴對(duì)稱軸為x＝1，即點(diǎn)N橫坐標(biāo)為1，

∵以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，其中AB∥MN，

∴xB﹣xM＝xA﹣xN或xB﹣xN＝xA﹣xM，

∴﹣1﹣xM＝2﹣1或﹣1﹣1＝2﹣xM，

∴xM＝﹣2或4，

∴M（4，5）或（﹣2，5）．