Question

【題目】如圖，已知，將一個直角三角形紙片()的一個頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，現(xiàn)將三角形紙片繞點(diǎn)任意轉(zhuǎn)動，平分斜邊與的夾角，平分.

（1）將三角形紙片繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(三角形紙片始終保持在的內(nèi)部)，若，則_______；

（2）將三角形紙片繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(三角形紙片始終保持在的內(nèi)部)，若射線恰好平方，若，求的度數(shù);

（3）將三角形紙片繞點(diǎn)從與重合位置逆時(shí)針轉(zhuǎn)到與重合的位置，猜想在轉(zhuǎn)動過程中和的數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），證明見解析

【解析】

（1）利用角平分線定義得出，，再利用∠AOB的和差關(guān)系進(jìn)行列方程即可求解；

（2）利用，表達(dá)出∠AOC、∠BOD，利用∠AOB的和差關(guān)系進(jìn)行列方程即可求解；

（3）畫出圖形后利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算求解即可．

解：（1）∵平分斜邊與的夾角，平分．

∴OM平分∠AOC, ON平分∠BOD

∴設(shè)

∴，

∵

∴

∴

故答案為:

（2）∵

∴設(shè)

∵射線恰好平方

∴

∴

∵平分斜邊與的夾角，平分．

∴OM平分∠AOC, ON平分∠BOD

∴

∴

∵

∴

∴

(3) ,證明如下：

當(dāng)OC與OA重合時(shí)，設(shè)∠COD=x,則

∵ON平分∠BOD

∴

∴

∴

當(dāng)OC在OA的左側(cè)時(shí)

設(shè)∠AOD=a，∠AOC=b，則∠BOD=∠AOB-∠AOD=150°-a，∠COD=∠AOD+∠AOC=a+b

∵ON平分∠BOD

∴

∵OM平分∠AOC

∴

∴∠MON=∠MOA+∠AOD+∠DON

當(dāng)OD與OA重合時(shí)

∵ON平分∠AOB

∴

∵OM平分∠AOC

∴

∴

綜上所述