Question

如圖所示，AB為⊙O的直徑，CD為弦，且CD⊥AB，垂足為H．
（1）如果⊙O的半徑為4，CD=4

3

，求∠BAC的度數(shù)；
（2）若點(diǎn)E為

ADB

的中點(diǎn)，連接OE，CE．求證：CE平分∠OCD；
（3）在（1）的條件下，圓周上到直線AC距離為3的點(diǎn)有多少個(gè)？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出CH的長(zhǎng)，利用三角形的角邊關(guān)系求出角BOC，然后就可求出∠COH．
（2）利用等腰三角形的性質(zhì)得出∠E=∠OCE，再利用平行線的判定得出OE∥CD即可證明CE平分∠OCD；
（3）首先求得AC所對(duì)的兩個(gè)弧上，各自到AC的最遠(yuǎn)的點(diǎn)，與弦AC之間的距離，根據(jù)與3的大小關(guān)系即可作出判斷．

解答：（1）解：∵AB為⊙O的直徑，CD⊥AB
∴CH=

1

2

CD=2

3

（1分）
在Rt△COH中，sin∠COH=

CH

OC

=

2 3

4

=

3

2

，
∴∠COH=60° （2分）
∴∠BAC=

1

2

∠COH=30°；（3分）

（2）證明：∵點(diǎn)E是

ADB

的中點(diǎn)
∴OE⊥AB （4分）
又∵CD⊥AB，
∴OE∥CD
∴∠ECD=∠OEC （5分）
又∵∠OEC=∠OCE
∴∠OCE=∠DCE （6分）
∴CE平分∠OCD；（6分）

（3）解：圓周上到直線AC的距離為3的點(diǎn)有2個(gè)． （8分）
因?yàn)閳A弧

AC

上的點(diǎn)到直線AC的最大距離為2，

ADC

上的點(diǎn)到直線AC的最大距離為6，2＜3＜6，根據(jù)圓的軸
對(duì)稱性，

ADC

到直線AC距離為3的點(diǎn)有2個(gè)． （10分）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了圓心角，弧弦的關(guān)系，學(xué)生在做這一部分題時(shí)，一定要把圓的有關(guān)知識(shí)綜合使用．