Question

已知?ABCD中，若△ADE、△BEF、△CDF的面積分別為5、3、4，求△DEF的面積．

Answer 1

分析：過A作AH⊥CD，垂足為H，設(shè)AH=x，過F作FM⊥CD，垂足為M，MF的延長線交AB于N，設(shè)FM=h，（x＞h），根據(jù)△ADE、△BEF的面積公式用x、h分別表示AE、BE，根據(jù)CD=AB=AE+BE表示CD，再根據(jù)S_△CFD=CD×

h

2

=4，列方程求x、h的關(guān)系，求?ABCD的面積，用作差法求△DEF的面積．

解答：解：過A作AH⊥CD，垂足為H，設(shè)AH=x，過F作FM⊥CD，垂足為M，MF的延長線交AB于N，設(shè)FM=h，（x＞h），
依題意應(yīng)有：S_△DAE=AE×

x

2

=5，
解得AE=

10

x

，
S_△EBF=EB×

x-h

2

=3，
解得BE=

6

x-h

，
∵S_△CFD=CD×

h

2

=4，CD=AB=AE+BE=

10

x

+

6

x-h

，
∴（

10

x

+

6

x-h

）×

h

2

=4，
整理，得4x²-12xh+5h²=0，
即（2x-h）（2x-5h）=0，
∵x＞h，
∴2x=h（舍去），2x=5h，
∴CD=

10

x

+

6

x-h

=

8

h

，
∴S_{平行四邊形ABCD}=x•CD=x×

8

h

，
=

5h

2

×

8

h

，
=20，
∴S_△DEF=S_{平行四邊形ABCD}-S_△DAE-S_△EBF-S_△DCF，
=20-5-3-4，
=8．

點評：本題考查了三角形面積的表示方法．關(guān)鍵是構(gòu)造每個三角形的高，用已知面積表示底，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)將底過渡．